Question

如图所示，矩形AOBC在直角坐标系中，O为原点，A在x轴上，B在y轴上，直线AB的函数关系式为，M是OB上的一点，若将梯形AMBC沿AM折叠，点B恰好落在x轴上的点B′处，C的对应点为C′．

（1）求出B′点和M点的坐标；

（2）求直线A C′的函数关系式；

（3）设一动点P从A点出发，以每秒1个单位速度沿射线AB方向运动，过P作PQ⊥AB，交射线AM于Q；

①求运动t秒时，Q点的坐标；（用含t的代数式表示）

②以Q为圆心，以PQ的长为半径作圆，当t为何值时，⊙Q与y轴相切？

Answer 1

（1）（0，3） （2）y=（x﹣6） （3）①Q（6﹣t，）或（6﹣t，） ②当t=4或12秒．

【解析】

试题分析：结合图形，考虑到折叠后的图形与原图形的全等关系即可求得．

【解析】
（1）由一次函数可知A（6，0），B（0，8），

由Rt△AOB可得OA=6，OB=8，AB=10，AB′=10，

B′的坐标为（﹣4，0），

设BM=a，则B′M=a，OM=8﹣a，在Rt△MOB′中OM2+OB′2=BM2，

即（8﹣a）2+42=a2，解得a=5，

故OM=3，

M点的坐标为：（0，3）；

（2）△ABC沿AM翻转后变成△AB′C′，故△ABC≌△AB′C′，tan∠CAB=tan∠C′BA′=，

∴AC′的斜率为，

∵A点坐标为（6，0）

∴AC′的解析式为y=（x﹣6）；

（3）由题意，点P坐标为（6﹣t，﹣），作QG⊥x轴，

∴AG=AP=t，

∴①Q（6﹣t，）或（6﹣t，）

∴②当t=4或12秒．