Question

【题目】实践操作在数学活动中，林老师按如下的步骤进行操作：如图 (a)，①在△A OB内画任意等边三角形CDE，使点C在OA上，点D在OB上；②连接OE并延长，交AB于点E′，过点E′作C′E′∥CE，交OA于点C′，作D′E′∥DE，交OB于点D′，连接C′D′.林老师告诉同学们△C′D′E′是△AOB的内接等边三角形．

(1)请证明林老师的结论；

(2)仿照林老师的操作步骤，请在图(b)中作出内接正方形CDEF，要求DE在OB上，点C，F分别在OA，AB边上．(不需要写作图过程，画出图形即可)

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2) 如图见解析.

【解析】

（1）根据作法可知：C′E′∥CE， D′E′∥DE，可证得△CDE∽△C′D′E′，又∵△CDE是等边三角形，可得△C′D′E′是△AOB的内接等边三角形；

（2）仿照林老师的操作步骤，在靠近点O端作一个小正方形，正方形的三个顶点分别在OA和OB上，再过正方形的第四个顶点作射线OF，交AB于点F,然后分别做平行线可得到内接正方形CDEF。

(1)证明：∵C′E′∥CE，D′E′∥DE，

∴，，∠CEO＝∠C′E′O，∠DEO＝∠D′E′O，

∴，∠CED＝∠C′E′D′，

∴△CDE∽△C′D′E′.

又∵△CDE是等边三角形，

∴△C′D′E′是等边三角形，

∴△C′D′E′是△AOB的内接等边三角形．

(2)如下图所示，四边形CDFE即为所求作的内接正方形。