Question

如图①，直线AB的解析式为y=kx-2k（k＜0）与x轴、y轴分别交于A、B两点，∠ABO=60°．经过A、O两点的⊙O₁与x轴的负半轴交于点C，与直线AB切于点A．
（1）求C点的坐标；
（2）如图②，过O₁作直线EF∥y轴，在直线EF上是否存在一点D，使得△DAB的周长最短，若存在，求出D点坐标，不存在，说明理由；
（3）在（2）的条件下，连接OO₁与⊙O₁交于点G，点P为劣弧

GF

上一个动点，连接GP与EF的延长线交于H点，连接EP与OG交于I点，当P在劣弧

GF

运动时（不与G、F两点重合），O₁H-O₁I的值是否发生变化，若不变，求其值，若发生变化，求出其值的变化范围．

Answer 1

分析：（1）连接AC∵y=kx-2k∴B（2，0）∵∠ABO=60°∴∠OAB=30°∴AB=4，OA=2

3

，求出∠CAB=90°则可得出C点的坐标；
（2）取B点关于EF的对称点M，则M点的坐标为（-8，0），设直线AM的解析式为y=kx+b，求出解析式后再求直线AM与直线EF的交点即可；
（3）连接GF，证明△HGF≌△IEO₁，即可得出O₁H-O₁I的值不发生变化．

解答：解：（1）连接AC
∵y=kx-2k∴B（2，0）
∵∠ABO=60°∴∠OAB=30°
∴AB=4，OA=2

3

∵AB是切线∴∠CAB=90°，∠ACB=30°
∴AC=4

3

，CO=6
∴C（-6，0）．

（2）存在D点，坐标为D(-3，

5

4

3

)
∵EF过圆心且垂直x轴，
∴EF平分CO
取B点关于EF的对称点M，则M点的坐标为（-8，0）
设直线AM的解析式为y=kx+b
∵A(0，2

3

)，M（-8，0）∴y=

3

4

x+2

3

直线AM与直线EF的交点即为D点，此时△DAB的周长最短
∴D(-3，

5

4

3

)，

（3）O₁H-O₁I的值不发生变化，O₁H-O₁I=2

3

连接GF，
∵∠GOC=30°
∴∠OO₁E=∠GO₁F=60°
∴△GO₁F为等边三角形
∴GF=O₁E
∵∠HGF=∠HEP，∠HFG=∠EO₁I=120°
∴△HGF≌△IEO₁
∴HF=IO₁
∴O₁H-O₁I=O₁F=2

3

．

点评：本题考查了一次函数的综合知识，难度较大，关键是巧妙作出辅助线进行解题．