Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点，OA=1，OB=3，抛物线的顶点坐标为D（1，4）.

（1）求A、B两点的坐标；

（2）求抛物线的表达式；

（3）过点D做直线DE//y轴，交x轴于点E,点P是抛物线上A、D两点间的一个动点（点P不于A、D两点重合），PA、PB与直线DE分别交于点G、F，当点P运动时，EF+EG的值是否变化，如不变，试求出该值；若变化，请说明理由。

Answer 1

【答案】（1）（-1，0），（3，0）；（2）；（3）8．

【解析】

（1）根据OA，OB的长，可得答案；

（2）根据待定系数法，可得函数解析式；

（3）根据相似三角形的判定与性质，可得EG，EF的长，根据整式的加减，可得答案．

解：（1）由抛物线交轴于两点（A在B的左侧），且OA=1，OB=3，得A点坐标（-1，0），B点坐标（3，0）；

（2）设抛物线的解析式为，

把C点坐标代入函数解析式，得

解得，

抛物线的解析式为；

（3）EF+EG=8（或EF+EG是定值），理由如下：

过点P作PQ∥y轴交x轴于Q，如图:

设P（t，-t2+2t+3），

则PQ=-t2+2t+3，AQ=1+t，QB=3-t，

∵PQ∥EF，

∴△BEF∽△BQP

∴

∴

又∵PQ∥EG，

∴△AEG∽△AQP，

∴

∴

∴．