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如图,圆O的直径为5,在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P,已知BC:CA=4: 3,点P在半圆弧AB上运动(不与A、B两点重合),过点C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点.

(1)求证:AC·CD=PC·BC;
(2)当点P运动到AB弧中点时,求CD的长;
(3)当点P运动到什么位置时,△PCD的面积最大?并求出这个最大面积S。
(1)见解析(2)(3)
(1)由题意,AB是⊙O的直径;∴∠ACB=90,∵CDCP,∴∠PCD=90
∴∠ACP+∠BCD=∠PCB+∠DCB=90,∴∠ACP=∠DCB,又∵∠CBP=∠D+∠DCB,∠CBP=∠ABP+∠ABC,∴∠ABC=∠APC,∴∠APC=∠D,∴△PCA∽△DCB;∴,∴AC·CD=PC·BC
(2)当P运动到AB弧的中点时,连接AP
AB是⊙O的直径,∴∠APB=90,又∵P是弧AB的中点,∴弧PA=弧PB,∴AP=BP,∴∠PAB=PBA=45.,又AB=5,∴PA=,过AAMCP,垂足为M,在Rt△AMC中,∠ACM=45,∴∠CAM=45,∴AM=CM=,在Rt△AMP中,AM2+AP2=PM2,∴PM=,∴PC=PM+=。由(1)知:AC·CD=PC·BC ,3×CD=PC×4,∴CD
(3)由(1)知:AC·CD=PC·BC,所以AC:BC=CP:CD;
所以CP:CD=3:4,而PCD的面积等于·=
CP是圆O的弦,当CP最长时,△PCD的面积最大,而此时C
P就是圆O的直径;所以CP=5,∴3:4=5:CD
CD=,△PCD的面积等于·==
(1)通过求证△PCA∽△DCB,即可求证AC·CD=PC·BC
(2)当P运动到AB弧的中点时,连接AP,求出PA,过AAMCP,垂足为M,求出AM
从而求出PC ,由(1)可知CD的长
(3)当CP最长时,即为圆的直径,△PCD的面积最大,由(1)可求得CD的长,从而求出△PCD的面积
练习册系列答案
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小题2:如图2,当⊙O经过A、D两点且圆心O在正方形ABCD外部时,连结DT、DS.求AS-AT的值;
小题3:如图3,延长DA到点E,使AE=AD,当⊙O经过A、E两点时,连结ET、ES.
根据(1)、(2)计算,通过观察、分析,对线段AS、AT的数量关系提出问题并解答.

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A.8B.5C.D.

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A. B. C. D.4︰5

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

已知:AC是⊙O的直径,PA⊥AC,连结OP,弦CB//OP,直线PB交直线AC于点D,BD=2PA.
小题1:证明:直线PB是⊙O的切线;
小题2:探索线段PO与线段BC之间的数量关系,并加以证明;
小题3:求sin∠OPA的值.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:填空题

如图,AB是圆的直径,AC是圆的弦,.在图中画出弦AD,使AD=1,则的度数为    ▲    

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

写出阴影部分的面积         

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