Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点M，MN⊥AC于点N．
（1）求证：MN是⊙O的切线；
（2）若∠BAC=120°，AB=2，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：证明：连接OM．

∵OM=OB，

∴∠B=∠OMB．

∵AB=AC，

∴∠B=∠C．

∴∠OMB=∠C．

∴OM∥AC．

∵MN⊥AC，

∴OM⊥MN．

∵点M在⊙O上，

∴MN是⊙O的切线

（2）解：连接AM．

∵AB为直径，点M在⊙O上，

∴∠AMB=90°．

∵AB=AC，∠BAC=120°，

∴∠B=∠C=30°．

∴∠AOM=60°．

又∵在Rt△AMC中，MN⊥AC于点N，

∴∠AMN=30°．

∴AN=AMsin∠AMN=ACsin30°sin30°= ．

∴MN=AMcos∠AMN=ACsin30°cos30°= ．

∴S梯形ANMO= ，

S扇形OAM= ，

∴S阴影= = ﹣ ．

【解析】（1）有切点，需连半径，证明垂直，即可；（2）求阴影部分的面积要把它转化成S梯形ANMO﹣S扇形OAM ， 再分别求的这两部分的面积求解．
【考点精析】掌握切线的判定定理和扇形面积计算公式是解答本题的根本，需要知道切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形；扇形面积S=π（R2-r2）．