Question

如图，点P为正方形ABCD内一点，且PA=1，PB=2，PC=3．试求∠APB的度数．

Answer 1

分析：将△ABP绕点B顺时针旋转90°，使得AB与BC重合，根据旋转的性质可得△BPP′是等腰直角三角形，然后求出PP′，再根据勾股定理逆定理判定出△PP′C是直角三角形，然后求出∠BP′C的度数，再根据旋转的性质可得∠APB=∠BP′C．

解答：证明：如图，将△ABP绕点B顺时针旋转90°，使得AB与BC重合，
则P′C=PA=1，△BPP′是等腰直角三角形，
∵PB=2，
∴PP′=

2

PB=2

2

，
在△PP′C中，PP′²+P′C²=（2

2

）²+1²=9，
PC²=3²=9，
∴PP′²+P′C²=PC²，
∴△PP′C是直角三角形，
∠BP′C=∠BP′P+∠PP′C=45°+90°=135°，
∵△CBP′是△ABP绕点B顺时针旋转90°得到，
∴∠APB=∠BP′C=135°．

点评：本题考查了旋转的性质，主要利用了旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小，勾股定理的逆定理，作出图形并判断出△PP′C是直角三角形是解题的关键．