Question

16．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，∠A=30°，点P在AB上，AP=2．点E、F同时从点P出发，分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E到达点A后立刻以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也运动到点B时停止．在点E、F运动过程中，以EF为直径作圆．设点E运动的时间为t秒．
（1）当以EF为直径的圆与△ABC的边相切时，求t的值；
（2）当4≤t＜8时，写出以EF为直径的圆与△ABC的重叠部分的面积S与t的函数表达式．

Answer 1

分析 （1）分三种情况：①当0＜t＜2时，由含30°的直角三角形的性质容易得出t的值；
②当2≤t＜4时，设EF的中点为Q，若⊙Q与BC相切，切点为M，连接QM，则QM⊥BC．先求出QM，再求出QB、AQ、AE，即可得出t的值；
③当4≤t＜8时，设EF的中点为R，若⊙R与AC相切，切点为N，连接RN，则RN⊥AC，RN=RB；先证明△ANR∽△ACB，得出比例式求出半径NR，得出AE，即可求出t的值；
（2）设⊙R与BC的交点为D，连接RD，若⊙R的半径为r，则r=2-$\frac{1}{2}$t，先证明△RBD为等边三角形，得出△RBD的面积$\frac{\sqrt{3}}{4}{r}^{2}$，由扇形RED的面积=$\frac{1}{3}$πr²，即可求出S与t的函数关系式．

解答 解：（1）①当0＜t＜2时，如图1所示：
设⊙P与AC相切，切点为H，连接PH，
则PH⊥AC，
∵∠A=30°，
∴PH=AP•sin∠A=1，
即t=1；
②当2≤t＜4时，如图2所示：
设EF的中点为Q，
若⊙Q与BC相切，切点为M，连接QM，
则QM⊥BC．
∵∠C=90°，∠A=30°，
∴∠B=60°．
由题意知，⊙Q的半径为2，即QM=2．
∴QB=$\frac{4}{3}\sqrt{3}$，
∴AQ=6-$\frac{4}{3}\sqrt{3}$，
∴AE=AQ-2=4-$\frac{4}{3}\sqrt{3}$，
∴t=2+4-$\frac{4}{3}\sqrt{3}$=6-$\frac{4}{3}\sqrt{3}$；
③当4≤t＜8时，如图3所示：
设EF的中点为R，若⊙R与AC相切，切点为N，
连接RN，则RN⊥AC，此时RN=RB；
∵∠A=∠A，∠ANR=∠C=90°，
∴△ANR∽△ACB，
∴$\frac{NR}{CB}=\frac{AR}{AB}$，
∴$\frac{NR}{3}=\frac{6-BR}{6}$，
解得：NR=2，
∴AE=2，
∴t=4；
综上所述：t的值为1或6-$\frac{4}{3}\sqrt{3}$或4；
（2）如图4所示：设⊙R与BC的交点为D，连接RD，
∵AP=2，
∴点E在向A运动过程中，半径增大，圆心位置不变，刚好到点A时，半径最大=2，此时EF=4，
点E从点A向点B运动时，运动到点F刚好到点B时，用了（AB-2AP）÷1=2秒，此时点E，F各运动4秒，点E继续向B运动，点F不动，所以半径变小，圆心向B运动，此时半径为6-4-$\frac{1}{2}$t=2-$\frac{1}{2}$t（注：点E向B运动1个单位，直径减少1个单位，半径减少$\frac{1}{2}$个单位），
若⊙R的半径为r，
则r=2-$\frac{1}{2}$t，
∵∠B=60°，RD=RB，
∴△RBD为等边三角形，
∴△RBD的面积$\frac{\sqrt{3}}{4}{r}^{2}$，
又∵扇形RED的面积=$\frac{120π{r}^{2}}{360}$=$\frac{1}{3}$πr²，
∴S=$\frac{\sqrt{3}}{4}{r}^{2}$+$\frac{1}{3}$πr²=（$\frac{\sqrt{3}}{4}$+$\frac{1}{3}π$）（2-$\frac{1}{2}$t）²．

点评 本题是圆的综合题，考查了切线的性质、直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及面积的计算等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（1）中，需要通过作辅助线、分类讨论才能得出结果．