Question

【题目】如图1，四边形ABCD是正方形，点E是AB边的中点，以AE为边作正方形AEFG，连接DE，BG．

（1）发现

①线段DE、BG之间的数量关系是　 　；

②直线DE、BG之间的位置关系是　 　．

（2）探究

如图2，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

（3）应用

如图3，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转一周，记直线DE与BG的交点为P，若AB=4，请直接写出点P到CD所在直线距离的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】（1）发现：①DE=BG；②DE⊥BG；（2）探究：（1）中的结论仍然成立，理由详见解析；（3）应用：点P到CD所在直线距离的最大值是2+2，最小值是3﹣ ．

【解析】

（1）证明△AED≌△AGB可得出两个结论；

（2）①根据正方形的性质得出AE=AG，AD=AB，∠EAG=∠DAB=90°，求出∠EAD=∠GAB，根据SAS推出△EAD≌△GAB即可；

②根据全等三角形的性质得出∠GBA=∠EDA，求出∠DHB=90°即可；

（3）先确定点P到CD所在直线距离的最大值和最小值的位置，再根据图形求解．

解：（1）①线段DE、BG之间的数量关系是：DE=BG，

理由是：如图1，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠BDA=90°，

∴∠BAG=∠BAD=90°，

∵四边形AEFG是正方形，

∴AE=AG，

∴△AED≌△AGB（SAS），

∴DE=BG；

②直线DE、BG之间的位置关系是：DE⊥BG，

理由是：如图2，延长DE交BG于Q，

由△AED≌△AGB得：∠ABG=∠ADE，

∵∠AED+∠ADE=90°，∠AED=∠BEQ，

∴∠BEQ+∠ABG=90°，

∴∠BQE=90°，

∴DE⊥BG；

故答案为：①DE=BG；②DE⊥BG；

（2）（1）中的结论仍然成立，理由是：

①如图3，

∵四边形AEFG和四边形ABCD是正方形，

∴AE=AG，AD=AB，∠EAG=∠DAB=90°，

∴∠EAD=∠GAB=90°+∠EAB，

在△EAD和△GAB中，

，

∴△EAD≌△GAB（SAS），

∴ED=GB；

②ED⊥GB，

理由是：∵△EAD≌△GAB，

∴∠GBA=∠EDA，

∵∠AMD+∠ADM=90°，∠BMH=∠AMD，

∴∠BMH+∠GBA=90°，

∴∠DHB=180°﹣90°=90°，

∴ED⊥GB；

（3）将正方形AEFG绕点A逆时针旋转一周，即点E和G在以A为圆心，以2为半径的圆上，过P作PH⊥CD于H，

①当P与F重合时，此时PH最小，如图4，

在Rt△AED中，AD=4，AE=2，

∴∠ADE=30°，DE==2，

∴DF=DE﹣EF=2﹣2，

∵AD⊥CD，PH⊥CD，

∴AD∥PH，

∴∠DPH=∠ADE=30°，

∵cos30°==，

∴PH=（2﹣2）=3﹣；

②∵DE⊥BG，∠BAD=90°，

∴以BD的中点O为圆心，以BD为直径作圆，P、A在圆上，

当P在的中点时，如图5，此时PH的值最大，

∵AB=AD=4，

由勾股定理得：BD=4，

则半径OB=OP=2，

∴PH=2+2．

综上所述，点P到CD所在直线距离的最大值是2+2，最小值是3﹣．