如图.抛物线y=ax2+bx+c关于y轴对称.它的顶点在坐标原点O.点B(2.-43)和点C两点均在抛物线上.点F(0.-34)在y轴上.过点(0.34)作直线l与x轴平行．(1)求抛物线的解析式和线段BC的解析式．是线段BC上的一个动点.过点D作x轴的垂线.与抛物线交于点G．设线段GD的长度为h.求h与x之间的函数关系式.并求出当x为何值时.线段GD的长度h最大.最大长� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，抛物线y=ax²+bx+c关于y轴对称，它的顶点在坐标原点O，点B（2，-

）和点C（-3，-3）两点均在抛物线上，点F（0，-

）在y轴上，过点（0，

）作直线l与x轴平行．
（1）求抛物线的解析式和线段BC的解析式．
（2）设点D（x，y）是线段BC上的一个动点（点D不与B，C重合），过点D作x轴的垂线，与抛物线交于点G．设线段GD的长度为h，求h与x之间的函数关系式，并求出当x为何值时，线段GD的长度h最大，最大长度h的值是多少？
（3）若点P（m，n）是抛物线上位于第三象限的一个动点，连接PF并延长，交抛物线于另一点Q，过点Q作QS⊥l，垂足为点S，过点P作PN⊥l，垂足为点N，试判断△FNS的形状，并说明理由；
（4）若点A（-2，t）在线段BC上，点M为抛物线上的一个动点，连接AF，当点M在何位置时，MF+MA的值最小，请直接写出此时点M的坐标与MF+MA的最小值．

考点：二次函数综合题,二次根式的性质与化简,待定系数法求一次函数解析式,二次函数的最值,待定系数法求二次函数解析式,线段的性质：两点之间线段最短

专题：代数几何综合题,压轴题

分析：（1）由于抛物线的顶点在坐标原点O，故抛物线的解析式可设为y=ax²，把点C的坐标代入即可求出抛物线的解析式；设直线BC的解析式为y=mx+n，把点B、C的坐标代入即可求出直线BC的解析式．
（2）由点D（x，y）在线段BC上可得y_D=

x-2，由点G在抛物线y=-

x²上可得y_G=-

x²．由h=DG=y_G-y_D=-

x²-（

x-2）配方可得h=-

（x+

）²+

．根据二次函数的最值性即可解决问题．
（3）可以证明PF=PN，结合PN∥OF可推出∠PFN=∠OFN；同理可得∠QFS=∠OFS．由∠PFN+∠OFN+∠OFS+∠QFS=180°可推出∠NFS=90°，故△NFS是直角三角形．
（4）过点M作MH⊥l，垂足为H，如图4，由（3）中推出的结论PF=PN可得：抛物线y=-

x²上的点到点F（0，-

）的距离与到直线y=

的距离相等，从而有MF=MH，则MA+MF=MA+MH．由两点之间线段最短可得：当A、M、H三点共线（即AM⊥l）时，MA+MH（即MA+MF）最小，此时x_M=x_A=-2，从而可以求出点M及点A的坐标，就可求出MF+MA的最小值．

解答：

解：（1）如图1，
∵抛物线y=ax²+bx+c关于y轴对称，它的顶点在坐标原点O，
∴抛物线解析式为y=ax²．
∵点C（-3，-3）在抛物线y=ax²上，
∴.9a=-3．
∴a=-

．
∴抛物线的解析式为y=-

x²．
设直线BC的解析式为y=mx+n．
∵B（2，-

）、C（-3，-3）在直线y=mx+n上，
∴

2m+n=-

-3m+n=-3

．
解得：

n=-2

．
∴直线BC的解析式为y=

x-2．
（2）如图2，

∵点D（x，y）是线段BC上的一个动点（点D不与B，C重合），
∴y_D=

x-2，且-3＜x＜2．
∵DG⊥x轴，
∴x_G=x_D=x．
∵点G在抛物线y=-

x²上，
∴y_G=-

x²．
∴h=DG=y_G-y_D
=-

x²-（

x-2）
=-

x²-

x+2
=-

（x²+x）+2
=-

（x²+x+

）+2
=-

（x+

）²+

+2
=-

（x+

）²+

．
∵-

＜0，-3＜-

＜2，
∴当x=-

时，h取到最大值，最大值为

．
∴h与x之间的函数关系式为h=-

（x+

）²+

，其中-3＜x＜2；
当x=-

时，线段GD的长度h最大，最大长度h的值是

．
（3）△FNS是直角三角形．

证明：过点F作FT⊥PN，垂足为T，如图3，
∵点P（m，n）是抛物线y=-

x²上位于第三象限的一个动点，
∴n=-

m²．m＜0，n＜0．
∴m²=-3n．
在Rt△PTF中，
∵PT=-

-n，FT=-m，
∴PF=

PT2+FT2

-n)2+(-m)2

(

+n)2-3n

(

-n)2

-n．
∵PN⊥l，且l是过点（0，

）平行于x轴的直线，
∴PN=

-n．
∴PF=PN．
∴∠PNF=∠PFN．
∵PN⊥l，OF⊥l，
∴PN∥OF．
∴∠PNF=∠OFN．
∴∠PFN=∠OFN．
同理可得：∠QFS=∠OFS．
∵∠PFN+∠OFN+∠OFS+∠QFS=180°，
∴2∠OFN+2∠OFS=180°．
∴∠OFN+∠OFS=90°．
∴∠NFS=90°．
∴△NFS是直角三角形．
（4）过点M作MH⊥l，垂足为H，如图4，

在（3）中已证到PF=PN，由此可得：抛物线y=-

x²上的点到点F（0，-

）的距离与到直线y=

的距离相等．
∴MF=MH．
∴MA+MF=MA+MH．
由两点之间线段最短可得：
当A、M、H三点共线（即AM⊥l）时，MA+MH（即MA+MF）最小，等于AH．
即x_M=x_A=-2时，MA+MF取到最小值．
此时，y_M=-

×（-2）²=-

，点M的坐标为（-2，-

）；
y_A=

×（-2）-2=-

，点A的坐标为（-2，-

）；
MF+MA的最小值=AH=

-（-

）=

．
∴当点M的坐标为（-2，-

）时，MF+MA的值最小，最小值为

．

点评：本题考查了用待定系数法求二次函数及一次函数的解析式、二次函数的最值、二次根式的化简、两点之间线段最短等知识，综合性非常强，难度比较大．而证出PF=PN及由此得出“抛物线y=-

x²上的点到点F（0，-

）的距离与到直线y=

的距离相等”是解决第三小题和第四小题的关键．

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