Question

如图1，△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC，且AC=BC；△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF=FP．
（1）将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连接AP，BQ．猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系，请证明你的猜想；
（2）将△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接AP，BQ．你认为（1）中所猜想的BQ与AP的数量关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）若AC=BC=4，设△EFP平移的距离为x，当0≤x≤8时，△EFP与△ABC重叠部分的面积为S，请写出S与x之间的函数关系式，并求出最大值．

Answer 1

分析：（1）根据图形就可以猜想出结论．
（2）要证BQ=AP，可以转化为证明△BCQ≌△ACP得出BQ=AP；
（3）设△EFP平移的距离为x，当0≤x＜4时，S=-

3

4

x2+4x，当4≤x≤8时，S=

1

4

x(x-8)2，解得x即可．

解答：解：（1）猜想：BQ=AP．
证明：由题意可知EF⊥FP，又EF=FP，
所以∠EPF=45°，
所以QC=CP，又∠BCQ=∠ACP=90°，AC=BC，
所以△BCQ≌△ACP，
得出BQ=AP；

（2）BQ=AP．
证明：∵∠EPF=45°，AC⊥CP，
∴CQ=CP，
又∵BC=AC，
∴Rt△BCQ≌Rt△ACP，
∴BQ=AP；

（3）当0≤x＜4时，S=-

3

4

x2+4x，
当4≤x≤8时，S=

1

4

x(x-8)2，
当0≤x＜4时，x=-

b

2a

=

8

3

时，S的最大值为

16

3

；
当4≤x≤8时，根据对称轴左侧y随x的增大而减小，
∴x=4时，S的最大值为4．
∴当x=

8

3

时，S的最大值为

16

3

．

点评：此题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平移的性质，二次函数的最值等知识点，证明两个线段相等可以转化为证明三角形全等的问题．