Question

如图，将OA=6，AB=4的矩形OABC放置在平面直角坐标系中，动点M、N以每秒1个单位的速度分别从点A、C同时出发，其中点M沿AO向终点O运动，点N沿CB向终点B运动，当两个动点运动了t秒时，过点N作NP⊥BC，交OB于点P，连接MP．
（1）点B的坐标为

 

；用含t的式子表示点P的坐标为

 

；
（2）记△OMP的面积为S，求S与t的函数关系式（0＜t＜6）；并求t为何值时，S有最大值？
（3）试探究：当S有最大值时，在y轴上是否存在点T，使直线MT把△ONC分割成三角形和四边形两部分，且三角形的面积是△ONC面积的

1

3

？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由OA=6，AB=4，易得点B的坐标为（6，4）；由图可得，点P的横坐标=CN=t，纵坐标=4-NP，NP的值可根据相似比求得；
（2）由（1）的结论易得△OMP的高为

2

3

t，而OM=6-AM=6-t，再根据三角形的面积公式即可求得S与t的函数关系式，再由二次函数的最值求法，求得t为何值时，S有最大值；
（3）由（2）求得点M、N的坐标，从而求得直线ON的函数关系式；设点T的坐标为（0，b），可得直线MT的函数关系式，解由两个关系式组成的方程组，可得点直线ON与MT的交点R的坐标；由已知易得S_△OCN=

1

2

×4×3=6，∴S_△ORT=

1

3

S_△OCN=2；然后分两种情况考虑：①当点T在点O、C之间时，②当点T在点OC的延长线上，从而求得符合条件的点T的坐标．

解答：解：（1）延长NP交OA于H，
∵矩形OABC，
∴BC∥OA，∠OCB=90°，
∵PN⊥BC，
∴NH∥OC，
∴四边形CNHO是平行四边形，
∴OH=CN，
∵OA=6，AB=4，
∴点B的坐标为（6，4）；
由图可得，点P的横坐标=0H=CN=t，纵坐标=4-NP，
∵NP⊥BC，
∴NP∥OC，
∴NP：OC=BN：CB，
即NP：4=（6-t）：6，
∴NP=4-

2

3

t，
∴点P的纵坐标=4-NP=

2

3

t，
则点P的坐标为（t，

2

3

t）；
（其中写对B点得1分）（3分）

（2）∵S_△OMP=

1

2

×OM×

2

3

t，（4分）
∴S=

1

2

×（6-t）×

2

3

t=-

1

3

t2+2t．
=-

1

3

(t-3)2+3（0＜t＜6）．（6分）
∴当t=3时，S有最大值．（7分）

（3）存在．
由（2）得：当S有最大值时，点M、N的坐标分别为：M（3，0），N（3，4），
则直线ON的函数关系式为：y=

4

3

x．
设点T的坐标为（0，b），则直线MT的函数关系式为：y=-

b

3

x+b，
解方程组

y= 4 3 x y=- b 3 x+b

得

x= 3b 4+b y= 4b 4+b

，
∴直线ON与MT的交点R的坐标为(

3b

4+b

，

4b

4+b

)．
∵S_△OCN=

1

2

×4×3=6，
∴S_△ORT=

1

3

S_△OCN=2．（8分）
①当点T在点O、C之间时，分割出的三角形是△OR₁T₁，如图，作R₁D₁⊥y轴，D₁为垂足，
则S_△OR1T1=

1

2

RD₁•OT=

1

2

•

3b

4+b

•b=2．
∴3b²-4b-16=0，b=

2±2 13

3

．
∴b₁=

2+2 13

3

，b₂=

2-2 13

3

（不合题意，舍去）
此时点T₁的坐标为（0，

2+2 13

3

）．（9分）
②当点T在OC的延长线上时，分割出的三角形是△R₂NE，如图，设MT交CN于点E，由①得点E的横坐标为

3b-12

b

，作R₂D₂⊥CN交CN于点D₂，则
S_△R2NE=

1

2

•EN•R₂D₂=

1

2

•(3-

3b-12

b

)•(4-

4b

4+b

)=

96

b(4+b)

=2．
∴b²+4b-48=0，b=

-4± 16+4×48

2

=±2

13

-2．
∴b₁=2

13

-2，b₂=-2

13

-2（不合题意，舍去）．
∴此时点T₂的坐标为（0，2

13

-2）．
综上所述，在y轴上存在点T₁（0，

2+2 13

3

），T₂（0，2

13

-2）符合条件．（10分）

点评：此题综合性较强，考查了点的坐标、平行线分线段成比例、二次函数的最值、一次函数的应用等知识点．