Question

19．如图，半圆O的直径AB=10，点C在半圆上，BC=6，OP⊥AB交AC于点P，则OP=$\frac{15}{4}$．

Answer 1

分析 先根据圆周角定理得到∠ACB=90°，则利用勾股定理可计算出AC=8，再证明Rt△AOP∽△ACB，然后利用相似比可计算出OP的长．

解答 解：∵AB为半圆的直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ACB中，∵AB=10，BC=6，
∴AC=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
∵OP⊥AB，
∴∠AOP=90°，
而∠OAP=∠CAB，
∴Rt△AOP∽△ACB，
∴$\frac{OP}{BC}$=$\frac{AO}{AC}$，即$\frac{OP}{6}$=$\frac{5}{8}$，
∴OP=$\frac{15}{4}$．
故答案为$\frac{15}{4}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在利用三角形相似的性质时，通过相似比计算相应边的长．也考查了圆周角定理．