Question

如图，半径AO⊥PO，PB切⊙O于点B，AB交PO于点C，且∠P=60°，OC=1．
（Ⅰ）求证：△PBC是等边三角形；
（Ⅱ）求PC的长．

Answer 1

（1）证明：连接OB．
∵PB为⊙O切线，
∴∠PBO=90°；
∵∠P=60°，
∴∠POB=30°（三角形内角和定理）；
∵AO⊥PO，
∴∠AOP=90°，
∴∠AOB=∠AOP+∠POB=120°，
∴∠OAB+∠OBA=60°，
∵OA、OB为圆半径，
∴OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=30°，
∴∠PBA=60°，
∴△PBC是等边三角形（△PBC有两个内角为60°）；

（2）由（1）中已证∠POB=∠OBA=30°，
则BC=OC=1；
又∵△PBC是等边三角形，
∴PC=BC=1．
分析：（1）连接OB．利用切线的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的两个底角相等是性质证得∠PBA=60°；根据等边三角形的判定定理即可证得结论；
（2）利用（1）中∠POB=∠OBA=30°，则由等腰三角形的性质推知OC=BC；然后利用（1）中等边三角形△PBC的三条边相等知PC=BC，即PC=BC=1．
点评：本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．