Question

在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数y=k（x²+x-1）的图象交于点A（1，k）和点B（-1，-k）．
（1）当k=-3时，求反比例函数的解析式；
（2）在（1）的条件下，在第四象限中，x为何值，反比例函数小于二次函数？
（3）要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增小，求k应满足的条件以及x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据k的值确定点A的坐标，然后设反比例函数解析式为y=

m

x

，利用待定系数法求反比例函数解析式解答即可；
（2）写出反比例函数图象在二次函数图象下方的部分的x的取值范围即可；
（3）根据反比例函数的增减性确定出k的取值范围，再根据二次函数的增减性求出x在对称轴左边的部分的取值范围即可．

解答：解：（1）当k=-3时，A（1，-3），
∵A在反比例函数图象上，
∴设反比例函数的解析式为：y=

m

x

，
代入A（1，-3）得：

m

1

=-3，
解得：m=-3，
故反比例函数的解析式为：y=-

3

x

；

（2）由图可知当0＜x＜1时，反比例函数小于二次函数；

（3）∵要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增小，
∴k＞0，
∵二次函数y=k（x²+x-1）=k（x+

1

2

）²-

5

4

k的对称轴为：直线x=-

1

2

，
∴要使二次函数y=k（x²+x-1）满足上述条件，在k＞0的情况下，x必须在对称轴的左边，
即x≤-

1

2

时，才能使得y随着x的增大而增小，
综上所述，k＜0且x≤-

1

2

．

点评：本题考查了二次函数与不等组组的关系，待定系数法求反比例函数解析式，以及反比例函数与二次函数的增减性，难度不大，（2）作出图形更形象直观．