Question

14．关于x，y的方程组$\left\{\begin{array}{l}{2x+{y}^{2}=3k-1}\\{x+2{y}^{2}=-2}\end{array}\right.$的解满足x-2y²＞-4，则实数k的取值范围为-$\frac{3}{2}$＜k≤-1．

Answer 1

分析 首先①×2-②，利用含k的代数式表示x，再②×2-①，利用含k的式子表示y²，再代入x-2y²＞-4可得k＞-$\frac{3}{2}$．再根据y²≥0可得y²=3k-1-2x=3k-1-4k=-1-k≥0，再解可得k的取值范围．

解答 解：$\left\{\begin{array}{l}{2x+{y}^{2}=3k-1①}\\{x+2{y}^{2}=-2②}\end{array}\right.$，
①×2得：4x+2y²=6k-2③，
③-②得：3x=6k，
x=2k，
②×2得：2x+4y²=-4④，
④-①得：3y²=-3k-3，
y²=-k-1，
∵x-2y²＞-4，
∴2k-2（-k-1）＞-4，
2k+2k+2＞-4，
解得：4k＞-6，
k＞-$\frac{3}{2}$．
∵2x+y²=3k-1，
∴y²=3k-1-2x=3k-1-4k=-1-k，
∵y²≥0，
∴-1-k≥0，
解得：k≤-1，
∴-$\frac{3}{2}$＜k≤-1．
故答案为：-$\frac{3}{2}$＜k≤-1．

点评 此题主要考查了高次方程，关键是正确利用含k的式子表示x和y²．注意y²≥0这一隐含条件．