Question

【题目】如图所示，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D的切线分别交AB，AC的延长线于点E，F．

（1）求证：AF⊥EF．

（2）探究线段AF、CF、AB之间的数量关系，并证明．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）AF+CF=AB．证明见解析.

【解析】

（1）连接OD，由EF是⊙O的切线，可得OD⊥EF，由∠BAC的平分线交⊙O与点D，易证得OD⊥BC，即可得BC∥EF，由AB为直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得AC⊥BC，继而证得AF⊥EF；

（2）连接BD并延长，交AF的延长线于点H，连接CD，易证得△ADH≌△ADB，△CDF≌△HDF，继而证得AF+CF=AB．

（1）连接OD，

∴OD⊥EF，

∵AD平分∠BAC，

∴，

由垂径定理知OD⊥BC，

又AB是直径，

∴∠ACB=90°，即AF⊥BC，

∴AF∥OD，

∴AF⊥EF；

（2）AF+CF=AB，证明如下：

过D作DH⊥AB于H，则DH=DF，AH=AF，

∵，

∴DC=DB，

在 Rt△CFD与 Rt△BHD中，

，

∴Rt△CFD≌Rt△BHD（HL），

∴BH=CF，

∴AB=AH+HB=AF+CF．