Question

如图，△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=3，点D在AC边上，以D为圆心的⊙D与AB相切于点E，
（1）求证：AD•BC=AB•ED；
（2）设⊙D与BC交于点F，当CF=2时，求CD的长．

Answer 1

（1）证明：∵∠C=90°，
E是切点，∴∠AED=90°，
又∠A是公共角，
∴△AED∽△ACB，
∴=，
∴AD•BC=AB•ED；

（2）解：连接DF，
由（1）得出的结论，设DE=x，则AE=2x，
根据勾股定理得：AD=x，
设CD=y，则得
y=6-x…①，
DF=DE=x（都是半径），
CF=2，则在直角三角形DCF中，
y=…②，
由①②得；
6-x=，
36-12x+5x²=x²-4，
x²-3x+10=0，
（x-2）（x-）=0，
得x₁=2，x₂=，
由已知DE＜BC=3，
即x＜3，
2＞3，＜3，
所以x=，
所以y=6-×=1．
答：CD的长为1．
分析：（1）由已知∠C=90°，以D为圆心的⊙D与AB相切于点E得∠AED=90°，又∠A为公共角，所以证得△AED∽△ACB，即得=，所以AD•BC=AB•ED．
（2）由已知AC=6，BC=3，和（1）证得△AED∽△ACB，若设DE=x那么DF=x（都为半径），则AE=2x，
根据勾股定理得：AD=x，再设CD=y，则y=6-x，已知CF=2，∠C=90°，那么连接DF在直角三角形DCF中，根据勾股定理得：
y=，所以由y=6-x，和y=，求出x，y即求出CD的长．
点评：此题考查的知识点是切线的性质、相似三角形的判定和性质，解答此题的关键是（1）由已知证得△AED∽△ACB得出结论．（2）由（1）得出的结论推出DE和AE的关系，连接DF，设DE=DF=x，CD=y，通过线段差和勾股定理得出x与y的两个关系式，求出x、y．这里注意求出x两个值，根据已知讨论得出x．