Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+3与轴、轴分别相交于点A、B，并与抛物线的对称轴交于点，抛物线的顶点是点．

（1）求k和b的值；

（2）点G是轴上一点，且以点、C、为顶点的三角形与△相似，求点G的坐标；

（3）在抛物线上是否存在点E：它关于直线AB的对称点F恰好在y轴上．如果存在，直接写出点E的坐标，如果不存在，试说明理由．

Answer 1

【答案】(1)k=-,b=1;(2) (0,1)和

【解析】分析：（1） 由直线经过点，可得．由抛物线的对称轴是直线，可得，进而得到A、B、D的坐标，然后分两种情况讨论即可；

（3）设E（a，），E关于直线AB的对称点E′为（0，b），EE′与AB的交点为P．则EE′⊥AB，P为EE′的中点，列方程组，求解即可得到a的值，进而得到答案．

详解：（1） 由直线经过点，可得．

由抛物线的对称轴是直线，可得．

∵直线与x轴、y轴分别相交于点、，

∴点的坐标是，点的坐标是．

∵抛物线的顶点是点，∴点的坐标是．

∵点是轴上一点，∴设点的坐标是．

∵△BCG与△BCD相似，又由题意知，，

∴△BCG与△相似有两种可能情况：

①如果，那么，解得，∴点的坐标是．

②如果，那么，解得，∴点的坐标是．

综上所述：符合要求的点有两个，其坐标分别是和 ．

（3）设E（a，），E关于直线AB的对称点E′为（0，b），EE′与AB的交点为P，则EE′⊥AB，P为EE′的中点，∴ ，整理得：，∴(a-2)(a+1)=0，解得：a=－1或a=2．

当a=－1时，=；

当a=2时，=；

∴点的坐标是或．