Question

（2013•宜春模拟）课题：探求直角梯形剪开后进行旋转、平移操作相关问题．如图1，小明将一张直角梯形纸片沿虚线剪开，得到矩形和三角形两张纸片，测得AB=10，AD=8．在进行如下操作时遇到了下面的几个问题，请你帮助解决．
观察计算：
（1）将△EFG的顶点G移到矩形的顶点B处，再将三角形绕点B顺时针旋转使E点落在CD边上，此时，EF恰好经过点A（如图2），请你求出AE和FG的长度．
探索发现：
（2）在（1）的条件下，小明先将三角形的边EG和矩形边AB重合，然后将△EFG沿直线BC向右平移，至F点与B重合时停止．在平移过程中，设G点平移的距离为x，两纸片重叠部分面积为y，求在平移的整个过程中，y与x的函数关系式，并求当重叠部分面积为20时，平移距离x的值（如图3）．
（3）在（2）的操作中，小明发现在平移过程中，虽然有时平移的距离不等，但两纸片重叠的面积却是相等的；而有时候平移的距离不等，两纸片重叠部分的面积也不可能相等．请探索这两种情况下重叠部分面积y的范围（直接写出结果）．

Answer 1

分析：（1）利用矩形的性质以及得出△BEM∽△FEB，求出即可；
（2）有两种情况：①当0≤x≤8时，根据平行线分线段成比例定理求出BM的值，根据梯形的面积公式求出即可；②当8≤x≤20时，求出BM、CN的值，根据梯形的面积公式求出即可；把y=20代入解析式求x即可；
（3）当16≤y＜64时，平移的距离不等，两纸片重叠的面积可能相等，0≤y＜16或y=64时，平移的距离不等，两纸片重叠部分的面积也不可能相等．

解答：解：（1）如答题图1，过B作BM⊥AE于M．
由AB=BE=10，BC=8，
∴CE=6．
∴DE=4．
∴AE=4

5

．
由AB=BE，BM⊥AE，
∴EM=2

5

．
∴BM=4

5

．
由△BEM∽△FEB，
∴

FG

BE

=

BM

EM

，
∴FG=20．

（2）①
如答题图2：∵矩形ABCD，∠EGF=90°，EG=AB，
∴AB∥CD∥EG，
∴

BM

EG

=

FB

FG

，
即

BM

10

=

20-x

20

，
∴BM=10-

1

2

x，
∴y=

1

2

（BM+EG）×BG=

1

2

•（10-

1

2

x+10）•x，
∴y=-

1

4

x²+10x（0≤x≤8）；
②如图2：与求BM的方法类似，得出

CN

10

=

20-(x-8)

20

，
∴CN=14-

1

2

x，
∴y=

1

2

（BM+CN）×BC=

1

2

•（10-

1

2

x+14-

1

2

x）•8=-4x+96（8＜x≤20）；
综合上述：y与x的关系式是y=

- 1 4 x2+10x(0≤x≤8) -4x+96(8＜x≤20)

，
把y=20代入y=-

1

4

x²+10x得：-

1

4

x²+10x=20，
解得：x₁=20+8

5

＞8（舍去），x₂=20-8

5

；
把y=20代入y=-4x+96得：-4x+96=20，
解得：x=19，
综上所述：当y=20时，x=20-8

5

或x=19；

（3）当0≤x≤8时，
y=-

1

4

x2+10x=-

1

4

(x-20)2+100，
顶点为（20，100），
∴当0≤x≤8时，0≤y≤64．
当8＜x≤20时，y=-4x+96，16≤y＜64．
∴当16≤y＜64时，平移的距离不等，两纸片重叠的面积y可能相等．
当0≤y＜16或y=64时，平移的距离不等，两纸片重叠部分的面积也不可能相等．

点评：此题主要考查了几何变换综合题，本题以动态（平移和旋转）的形式考查了分类讨论的思想、函数的知识和直角三角形，具有很强的综合性．