Question

3．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y=x+6与x轴、y轴分别相交于A，B两点，抛物线y=ax²+bx+c经过A，B两点，并与x轴的正半轴交于点C，且tan∠CBO=$\frac{1}{2}$．
（1）求抛物线的函数表达式：
（2）若D是线段AB（不含端点）上一动点．过点D作DE∥AC，交BC于点E，分别过D，E两点作x轴的垂线．垂足为G，F．设点D的横坐标为t，四边形DEFG的面积为S．求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值：
（3）在抛物线上是否在一点M，过M作MN⊥x轴于点N，使以A，M，N三点为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据自变量与函数值的对应关系，可得A，B点坐标，根据正切函数，可得C点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据函数值与自变量的对应关系，可得D、E的坐标，根据矩形的面积，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；
（3）根据有两角对应相等的两个三角形相似，可得M点的坐标．

解答 解：（1）y=x+6与x轴、y轴分别相交于A，B两点，得
A（-6，0），B（0，6）．
tan∠CBO=$\frac{1}{2}$，得
OC=3，即C点坐标（3，0）．
将A，B，C的坐标代入函数解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{36a-6b+c=0}\\{c=6}\\{9a+3b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{3}}\\{b=-1}\\{c=6}\end{array}\right.$，
函数的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x²-x+6；
（2）BC的解析式为y=-2x+6，
由D在线段AB上，D点的横坐标为t，得D点的坐标为（t，t+6）．
由DE∥AC，得
E点的纵坐标为（t+6），
当y=t+6时，-2x+6=t+6，解得x=-$\frac{t}{2}$，即E点的坐标为（-$\frac{t}{2}$，t+6）．
DE的长为（-$\frac{t}{2}$-t），DG=t+6，
S=DE•DG=（-$\frac{t}{2}$-t）•（t+6）
=-$\frac{3}{2}$t²-9t
当t=-$\frac{b}{2a}$=-3时，S_最大=$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$=$\frac{27}{2}$；
（3）在抛物线上在一点M，过M作MN⊥x轴于点N，使以A，M，N三点为顶点的三角形与△BOC相似，
设M点坐标为（m，-$\frac{1}{3}$²-m+6）．
如图，
当$\frac{MN}{OB}$=$\frac{AN}{OC}$时，$\frac{m+6}{6}$=$\frac{-\frac{1}{3}{m}^{2}-m+6}{3}$或$\frac{m+6}{6}$=$\frac{\frac{1}{3}{m}^{2}+m+6}{3}$，
化简，得
2m²+9m-18=0①，2m²+3m-54=0②，
解得①得
m=-6（舍），m=$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{3}$²-m+6=3，即M点坐标为（$\frac{3}{2}$，3）；
解②得，m=-6（舍），m=$\frac{9}{2}$，-$\frac{1}{3}$²-m+6=-6，即M′的坐标为（$\frac{9}{2}$，-6）；
当$\frac{MN}{OC}$=$\frac{AN}{OB}$时，$\frac{m+6}{3}$=$\frac{-\frac{1}{3}{m}^{2}-m+6}{6}$，$\frac{m+6}{3}$=$\frac{\frac{1}{3}{m}^{2}+m-6}{6}$，
化简，得
m²+9m+18=0③或m²-3m-54=0④，
解③，得
方程无解，
解④，得m=-6（舍），m=9，-$\frac{1}{3}$²-m+6=-30，即M″（9，-30），
综上所述：M点的坐标为（$\frac{3}{2}$，3）、（$\frac{9}{2}$，-6）、（9，-30），在抛物线上在一点M，过M作MN⊥x轴于点N，使以A，M，N三点为顶点的三角形与△BOC相似．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；（2）利用矩形的面积得出二次函数是解题关键；（3）利用相似三角形的判定得出关于m的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．