Question

8．阅读下列材料：
材料1：
公式：（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc．
运用上面公式我们可以得出：
（2m-n-1）²=（2m）²+（-n）²+（-1）²+2×2m（-n）+2×2m×（-1）+2×（-n）×（-1）=4m²+n²-4mn-4m+2m+1
公式逆用可以得出：
4m²+n²-4mn-4m+2n+1=（2m-n-1）²．
材料2：
例题：已知a²+4b²-2a-4b+2=0，求a，b的值．
解：因为a²+4b²-2a-4b+2=0，
所以a²-2a+1+4b²-4b+1=0，
所以（a-1）²+（2b-1）²=0，所以a-1=0，2b-1=0，
所以a=1，b=$\frac{1}{2}$．
参照上面材料，解决下列问题：
（1）计算：（x+y+1）²；
（2）已知x²+y²+8x-12y+52=0，求x，y的值；
（3）已知13x²+5y²+8xy-44x-6y+41=0，求（x+y）²⁰¹⁷的值．

Answer 1

分析 （1）根据题意给出的运算公式即可求出原式的答案．
（2）根据配方法与非负数的性质即可求出x与y的值．
（3）根据完全平方公式把原式化为（2x-y-5）²+（3x+2y-4）²=0的形式，根据非负数的性质进行解答即可．

解答 解：（1）（x+y+1）²，
=x²+y²+1²+2xy+2x×1+2y×1，
=x²+y²+2xy+2x+2y+1；
（2）∵x²+y²+8x-12y+52=0，
∴（x²+8x+16）+（y²-12y+36）=0，
∴（x+4）²+（y-6）²=0，
∴x+4=0，y-6=0，
解得，x=-4，y=6；
（3）13x²+5y²+8xy-44x-6y+41=0，
（4x²+y²-4xy+10y-20x+25）+（9x²+4y²-24x+12xy-16y+16）=0，
（2x-y-5）²+（3x+2y-4）²=0，
则$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-5=0}\\{3x+2y-4=0}\end{array}\right.$，
则x=2，y=-1，
（x+y）²⁰¹⁷，
=（2-1）²⁰¹⁷，
=1．

点评 本题考查的是配方法的应用和非负数的性质的应用，正确根据完全平方公式进行配方是解题的关键．