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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP．点D是弦AB所对劣弧上的任一点（异于点A、B），过点D作DE⊥AB于点E，以点D为圆心，DE长为半径作⊙D，连接AD、BD．分别过点A、B作⊙D的切线，两条切线交于点C．下列结论：
    ①AB=
    		3
    ；②∠ACB为定值60°；③∠ADB=2∠ACB；④设△ABC的面积为S，若
    S
    DE2
    =4
    		3
    则△ABC的周长为3．
    其中正确的有（　　）
    分析：①在RT△AOF中求出AF，然后可得出AB的长度；②求出AOB，然后利用圆周角的知识求出∠ADB，继而可得出∠C；③根据②的解答过程即可判断出正确与否；④根据切线的性质表示出△ABC的面积，然后根据
    S
    DE2
    =4
    		3
    ，解出DE，继而可得出周长．
    解答：解：①

    由题意得，OF=
    1
    2
    、OA=1，在RT△AOF中，可得AF=
    		3
    2
    ，从而可得AB=2AF=
    		3
    ，故①正确；
    ②由OF=
    1
    2
    OA，可得∠AOF=60°，从而∠AOB=120°，即劣弧AB=120°，优弧AB=240°，从而∠ADB=120°，
    ∵∠C+∠CAB+∠CBA=180°，∠ADB+
    1
    2
    （∠CAB+∠CBA）=180°，
    ∴解得∠C=60°，故②正确；
    ③根据②的证明过程可得出∠ADB=120°，∠C=60°，故可得∠ADB=2∠ACB，即③正确；
    ④
    由①得，AB=
    		3
    ，
    ∵△ABC的面积为S=
    1
    2
    （AB+AN+CN+BC）×DE=
    1
    2
    （2
    		3
    +2CN）×DE，
    ∵△ABC的面积为S，
    S
    DE2
    =4
    		3
    ，
    ∴
    1
    2
    (2
    		3
    +2CN)×DE
    DE2
    =4
    		3
    ，
    		3
    DE+
    		3
    DE    2
    DE2
    ，
    ∵DE=DN=
    1
    2
    CD，
    ∴CN=
    		3
    DE，
    ∴可得
    		3
    +
    		3
    DE
    DE
    =4
    		3
    ，
    解得：DE=
    1
    3
    ，
    △ABC的周长=AB+AC+BC=
    S
    DE
    =4
    		3
    DE=
    4
    		3
    3
    故④错误．
    综上可得①②③正确．
    故选A．
    点评：此题考属于圆的综合题目，涉及了切线的性质、角平分线的性质、三角形的面积，④的判断比较麻烦，需要先求出DE的长度，对于此类题目可以利用排除法来作，这样可以省下不少时间．
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    		3
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    度．

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    ．

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    		5
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    ．

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    6
    		2
    6
    		2
    ．

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