Question

【题目】综合与实践

问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“两个大小不等的等腰直角三角板的直角顶点重合，并让一个三角板固定，另一个绕直角顶点旋转”为主题开展数学活动，如图1，三角板和三角板都是等腰直角三角形，，点，分别在边，上，连接，点，，分别为，，的中点．试判断线段与的数量关系和位置关系．

探究展示：勤奋小组发现，，．并展示了如下的证明方法：

∵点，分别是，的中点，∴，．

∵点，分别是，的中点，∴，．（依据1）

∵，，∴，∴．

∵，∴．

∵，∴．

∵，∴．（依据2）

∴．∴．

反思交流：

（1）①上述证明过程中的“依据1”，“依据2”分别是指什么？

②试判断图1中，与的位置关系，请直接回答，不必证明；

（2）创新小组受到勤奋小组的启发，继续进行探究，把绕点逆时针方向旋转到如图2的位置，发现是等腰直角三角形，请你给出证明；

（3）缜密小组的同学继续探究，把绕点在平面内自由旋转，当，时，求面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）①依据1：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半．

依据2：直角三角形的两个锐角互余．②． （2）见解析 （3）

【解析】

（1）①根据三角形的中位线的性质和直角三角形的性质，即可得到答案；

②由，得∠ANP=45°，结合∠PNM=45°，即可得到结论；

（2）连接，先证，得，，从而得是等腰三角形．通过三角形外角的性质和直角三角形的性质可得，进而得，即可得到结论；

（3）由是等腰直角三角形，可得，当BD最大时，面积最大，进而即可得到答案．

（1）①依据1：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半．

依据2：直角三角形的两个锐角互余．

②．理由如下：

由勤奋小组发现，，，可知：PMN是等腰直角三角形，

∴∠PNM=45°，

∵，

∴∠ANP=∠B=45°，

∴∠ANM=45°+45°=90°，即：；

（2）连接，由旋转的性质知，．

∵，，

∴，

∴，．

∵点，，分别是，，的中点，

∴，分别是，的中位线，

∴，．

∴，

∴是等腰三角形．

又∵，，

∴，，

∵，

∴

．

∵，

∴，

∴，

∴是等腰直角三角形；

（3）由（2）知，是等腰直角三角形，．

∴BD最大时，面积最大，此时，点在的延长线上，即：，

∴PM的最大值为7，

∴的最大值．