【题目】在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c经过A(0,﹣4)和B(2,0)两点.
(1)求c的值及a,b满足的关系式;
(2)若抛物线在A和B两点间,y随x的增大而增大,求a的取值范围;
(3)抛物线同时经过两个不同的点M(p,m),N(﹣2﹣p,n).
①若m=n,求a的值;
②若m=﹣2p﹣3,n=2p+1,点M在直线y=﹣2x﹣3上,请验证点N也在y=﹣2x﹣3上并求a的值.
【答案】(1)c=﹣4,2a+b=2;(2)0<a≤1;(3)①a=;②见解析,a=1.
【解析】
(1)令x=0,则c=4,将点B(2,0)代入y=ax2+bx+c可得2a+b=2;
(2)由已知可知抛物线开口向上,a>0,对称轴x=﹣=﹣
=1﹣
≤0,即可求a的范围;
(3)①m=n时,M(p,m),N(2p,n)关于对称轴对称,则有1=1;②将点N(2p,n)代入y=2x3等式成立,则可证明N点在直线上,再由直线与抛物线的两个交点是M、N,则有根与系数的关系可得p+(2p)=
,即可求a.
(1)令x=0,则c=﹣4,
将点B(2,0)代入y=ax2+bx+c可得4a+2b﹣4=0,
∴2a+b=2;
(2)∵抛物线在A和B两点间,y随x的增大而增大,
∴抛物线开口向上,
∴a>0,
∵A(0,﹣4)和B(2,0),
∴对称轴x=﹣=﹣
=1﹣
≤0,
∴0<a≤1;
(3)①当m=n时,M(p,m),N(﹣2﹣p,n)关于对称轴对称,
∴对称轴x=1﹣=﹣1,
∴a=;
②将点N(﹣2﹣p,n)代入y=﹣2x﹣3,
∴n=4+2p﹣3=1+2p,
∴N点在y=﹣2x﹣3上,
联立y=﹣2x﹣3与y=ax2+(2﹣2a)x﹣4有两个不同的实数根,
∴ax2+(4﹣2a)x﹣1=0,
∵p+(﹣2﹣p)=-=
,
∴a=1.
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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=-2,与x轴的一个交点在(-3,0)和(-4,0)之间,其部分图象如图所示.则下列结论:①4a-b=0;②c<0;③-3a+c>0;④4a-2b>at2+bt(t为实数);⑤点,
,
是该抛物线上的点,则y1<y2<y3.其中正确结论的个数是( )
A.4B.3C.2D.1
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【题目】如图,射线MN表示一艘轮船的航行路线,从M到N的走向为南偏东30°,在M的南偏东60°方向上有一点A,A处到M处为100海里.
(1)求点A到航线MN的距离;
(2)在航线MN上有一点B,且∠MAB=15°,若轮船的速度为50海里/时,求轮船从M处到B处所用时间为多少小时?(结果保留根号)
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【题目】为响应市委市政府提出的建设“绿色襄阳”的号召,我市某单位准备将院内一块长30m,宽20m的长方形空地,建成一个矩形花园.要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道,剩余的地方种植花草,如图所示,要使种植花草的面积为532m2,那么小道进出口的宽度应为多少米?(注:所有小道进出口的宽度相等,且每段小道均为平行四边形)
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【题目】如图,在矩形纸片ABCD中,将AB沿BM翻折,使点A落在BC上的点N处,BM为折痕,连接MN;再将CD沿CE翻折,使点D恰好落在MN上的点F处,CE为折痕,连接EF并延长交BM于点P,若AD=8,AB=5,则线段PE的长等于_____.
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【题目】 郑州外国语中学为了解学生课下阅读所用时间的情况,从各年级学生中随机抽查了一部分学生进行统计,下面是针对此次统计所制作的不完整的频数分布表和频数分布直方图,请根据图表信息回答下列问题:
组别 | 时间段(小时) | 频数 | 频率 |
1 | 0≤x<0.5 | 10 | 0.05 |
2 | 0.5≤x<1.0 | 20 | 0.10 |
3 | 1.0≤x<1.5 | 80 | b |
4 | 1.5≤x<2.0 | a | 0.35 |
5 | 2.0≤x<2.5 | 12 | 0.06 |
6 | 2.5≤x<3.0 | 8 | 0.04 |
(1)表中a=______b=______;
(2)请补全频数分布直方图;
(3)样本中,学生日阅读所用时间的中位数落在第______组;
(4)该校共有学生3000人,请估计学生日阅读量不少于1.5小时的人数.
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【题目】如图,直线l和双曲线y=(k>0)交于A、B两点,P是线段AB上的点(不与A、B重合),过点A、B、P分别向x轴作垂线,垂足分别为C、D、E,连接OA、OB、OP,设△AOC的面积为S1、△BOD的面积为S2、△POE的面积为S3,则( )
A.S1<S2<S3B.S1>S2>S3C.S1=S2>S3D.S1=S2<S3
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【题目】如图所示.在△ABC中,内角∠BAC与外角∠CBE的平分线相交于点P,BE=BC,PB与CE交于点H,PG∥AD交BC于F,交AB于G,连接CP.下列结论:①∠ACB=2∠APB;②S△PAC:S△PAB=AC:AB;③BP垂直平分CE;④∠PCF=∠CPF.其中,正确的有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
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【题目】下面是小明在一次测验中解答的填空题:①若x2 =1,则x=1; ②方程x(x-1)=x-1的解是x=2;③已知三角形两边分别为2和9,第三边长是方程x 2-14x+48=0的根,则这个三角形的周长是17或19;④方程
的解是x=3,试卷中每个填空题5分,最后小明填空题的得分是( ).
A.0分B.5分C.10分D.15分
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