Question

【题目】已知：矩形ABCD中AD＞AB，O是对角线的交点，过O任作一直线分别交BC、AD于点M、N（如图①）.

（1）求证：BM=DN；

（2）如图②，四边形AMNE是由四边形CMND沿MN翻折得到的，连接CN，求证：四边形AMCN是菱形；

（3）在（2）的条件下，若△CDN的面积与△CMN的面积比为1：3，求 的值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）＝ .

【解析】（1）连接BD，则BD过点O．

∵AD∥BC， ∴∠OBM=∠ODN．

又OB=OD， ∠BOM=∠DON， ∴△OBM≌△ODN． ∴BM=DN；

（2）∵矩形ABCD， ∴AD∥BC，AD=BC． 又BM=DN，

∴AN=CM． ∴四边形AMCN是平行四边形．

由翻折得，AM=CM， ∴四边形AMCN是菱形；

（3）∵

又：=1：3

∴DN︰CM=1︰3

设DN=k，则CN=CM=3k．

过N作NG⊥MC于点G，则CG=DN=k，MG=CM-CG=2k．

NG=

∴MN=

∴