Question

【题目】如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，3），作直线BC．动点P在x轴上运动，过点P作PM⊥x轴，交抛物线于点M，交直线BC于点N，设点P的横坐标为m．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点P在线段OB上运动时，求线段MN的最大值；

（3）是否存在点P，使得以点C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1)y＝﹣x2+2x+3；(2)线段MN最大值为；(3)存在点P，使得以点C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形，此时m的值为或．

【解析】

（1）根据点A、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

（2）由二次函数图象上点的坐标特征可找出点B的坐标，根据点B、C的坐标，利用待定系数法可求出直线BC的解析式，设点P的坐标为（m，0）（0≤m≤3），点M的坐标为（m，﹣m2+2m+3），点N的坐标为（m，﹣m+3），由此即可得出MN＝﹣m2+3m，利用配方法即可求出线段MN的最大值；

（3）根据平行四边形的性质可得出MN＝OC，分m＜0或m＞3以及0≤m≤3两种情况，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出结论．

(1)将A(﹣1，0)、C(0，3)代入y＝﹣x2+bx+c中，

，解得：,

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．

(2)当y＝﹣x2+2x+3＝0时，x1＝﹣1，x2＝3，

∴点B的坐标为(3，0)．

设直线BC的解析式为y＝kx+b(k≠0)，

将B(3，0)、C(0，3)代入y＝kx+b中，

,，解得：，

∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3．

设点P的坐标为(m，0)(0≤m≤3)，点M的坐标为(m，﹣m2+2m+3)，

点N的坐标为(m，﹣m+3)，

∴MN＝﹣m2+2m+3﹣(﹣m+3)＝﹣m2+3m＝﹣(m﹣)2+，

∴当m＝，线段MN取最大值，最大值为．

(3)∵MN∥CO，

∴当MN＝CO时，以点C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形．

∵点O(0，0)、C(0，3)，

∴OC＝3，

∴|﹣m2+3m|＝3，

当m＜0或m＞3时，有m2﹣3m＝3，

解得：m1＝，m2＝；

当0≤m≤3时，有﹣m2+3m＝3，

∵△＝(﹣3)2﹣4×1×3＝﹣3＜0，

∴此时方程无解．

综上所述：存在点P，使得以点C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形，此时m的值为或．