Question

在△ABC中，AB=15，AC=20，高AD=12，AE为角平分线，则线段AE的长为

 

．

Answer 1

考点：勾股定理,角平分线的性质

专题：

分析：因为三角形BC边上的高AD位置不确定，所以要分两种情况分类即高AD在三角形ABC的外边和 高AD在AC的右边时，分别求出线段AE的长即可．

解答：解：（1）高AD在三角形ABC的外边：
在直角三角形ABD中根据勾股定理得：BD=9，CD=16
∴BC=9+16=25，
∵BC²=625，AB²=225，AC²=400，
∴AC²+AB²=BC²
∴∠A=90，
∵AE为角平分线，
∴∠BAE=45°，
∴sinB=

4

5

，
根据角平分线定理：

AB

AC

=

BE

CE

=

3

4

，
∴BE=

75

7

，
在三角形ABE中由正弦定理得，

AE

sin60°

=

BE

sin45°

∴AE=

60 2

7

；
（2）高AD在AC的右边：BD=9，CD=16，
∴BC=16-9=7，
在ABC中根据角平分线定理，
∵

AB

AC

=

BE

CE

=

3

4

∴BE=3，CE=4
在ABE中用余弦定理：
AE²=AB²+BE²-2AB•BE•cos∠ABE=288
∴AE=12

2

，
故答案为：

60 2

7

或12

2

．

点评：本题考查了勾股定理的运用以及勾股定理逆定理的运用、角平分线性质定理、特殊角的锐角三角函数、正选定理和余弦定理的运用，题目的综合性较强，难度较大．