Question

15．在边长为4的等边三角形内有一点P，求PA+PB+PC的最小值为4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 延长AP，BP，CP分别交BC，AC，AB于E，F，D，由已知条件得到AB=BC=AC=4，解直角三角形得到AE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=2$\sqrt{3}$，求得AP=$\frac{2}{3}$AE=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，于是得到结论．

解答 解：要使求PA+PB+PC的值最小，
则点P应为等边三角形的内心，
如图，延长AP，BP，CP分别交BC，AC，AB于E，F，D，
∵△ABC是等边三角形，AB=BC=AC=4，
∴AE⊥BC，BE=CE，∠BAE=30°，
∴AE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=2$\sqrt{3}$，
∴AP=$\frac{2}{3}$AE=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴PA+PB+PC的最小值=3AP=4$\sqrt{3}$，
故答案为：4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了等边三角形的性质，等边三角形内心的性质，知道要使求PA+PB+PC的值最小，则点P应为等边三角形的内心是关键．