点M在△ABC的BC的边上.把以点M为圆心的⊙M称之为△ABC的伴随圆．在△ABC中.∠BAC=90°.AB=4.AC=8.M是BC边的中点．(1)如图1.当MN⊥BC交AC于点N时.求线段MN的长,(2)如图2.当△ABC的伴随圆⊙M与△ABC一边相切时.求出他们重叠部分的面积,(3)如图3.设伴随圆⊙M的半径为R.请直接写出△ABC的边与⊙M的公共点个数所有� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

精英家教网 > 初中数学 > 题目详情

点M在△ABC的BC的边上，把以点M为圆心的⊙M称之为△ABC的伴随圆．在△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=8，M是BC边的中点．
（1）如图1，当MN⊥BC交AC于点N时，求线段MN的长；
（2）如图2，当△ABC的伴随圆⊙M与△ABC一边相切时，求出他们重叠部分的面积；
（3）如图3，设伴随圆⊙M的半径为R，请直接写出△ABC的边与⊙M的公共点个数所有可能的情况，并写出相应的R的取值范围．

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）求出BC的长度，进而求出MC的长度；证明△ABC∽△MNC，列出比例式即可解决问题．
（2）按照分类讨论的数学思想，分别求出当⊙M与AC、AB相切时⊙M的半径长，即可解决问题．
（3）根据直线和圆相切、相离、相交时，圆心到直线的距离d和圆的半径λ之间的数量关系，来逐一判断，即可解决问题．

解答：解：（1）如图1，

∵∠BAC=90°，AB=4，AC=8，
∴BC²=4²+8²=80，
∴BC=4

，而点M为BC的中点，
∴MC=2

；
∵MN⊥BC，
∴∠NMC=∠A=90°，而∠C=∠C，
∴△ABC∽△MNC，
∴

，而AB=4，AC=8，MC=2

，
∴MN=

．

（2）如图2，当⊙M与AC边相切于点D时，连接MD，

则MD⊥AC；而AB⊥AC，
∴MD∥AB，而BM=CM，
∴AD=CD，MD为△ABC的中位线，
∴MD=

AB=2，此时⊙M与△ABC重叠部分的面积
=

π•MD2=2π；
当⊙M与AB边相切于点E时，连接ME，
同理可求出ME=4，此时⊙M与△ABC重叠部分的面积
=

π•ME2=8π．

（3）设⊙M的半径为λ，
则△ABC的边与⊙M的公共点个数所有可能的情况如下：
当0＜λ＜2时，有2个公共点；
当2≤λ＜4时，有3个公共点；
当λ=4时，有5个公共点；
当4＜λ＜2

时，有6个公共点；
当λ=2

时，有3个公共点；
当λ＞2

时，有没有公共点；

点评：该题以直角三角形和圆为载体，在重点考查直线和圆的位置关系的判定及其性质应用的同时，还渗透了对勾股定理、相似三角形的判定及其性质的应用等几何知识点的考查；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．

练习册系列答案

云南省标准教辅同步指导训练与检测系列答案

口算训练系列答案

优学三步曲期末冲刺系列答案

丢分题系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>

相关习题

科目：初中数学 来源： 题型：

分解因式：
（1）（x-y）³+4（y-x）
（2）（a-b）^2n-1+2（b-a）²ⁿ+（a-b）²ⁿ⁺¹．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：

如图，AC=DC，BC=EC，求证：DE∥AB．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：

数学课堂上，老师出一道试题：
（1）如图1，在正三角形ABC中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点，P是BC延长线上一点，N是∠ACP的平分线上一点．若∠AMN=60°，求证：AM=MN．
（2）若将试题中的“正三角形ABC”改为“正方形A₁B₁C₁D₁”（图2），N₁是∠D₁CP₁的分线上一点，则当∠A₁M₁N₁=90°时，结论A₁M₁=M₁N₁是否还成立？
（3）若将题中的“正三角形ABC”改为“正多边形A_nB_nC_nD_n…X_n”，请你猜想：当∠A_nM_nN_n=

时，结论A_nM_n=M_nN_n仍然成立？（直接写出答案，不需要证明）