Question

11．如图，二次函数y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}{x}^{2}-\frac{2}{3}\sqrt{3}x+\sqrt{3}$的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，顶点为D．
（1）求 A，B，C三点的坐标；
（2）把△ABC绕AB的中点M旋转180°，得到四边形AEBC，求出四边形AEBC的面积；
（3）试探索：在直线BC上是否存在一点P，使得△PAD的周长最小？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由？

Answer 1

分析 （1）分别令x=0以及y=0求出A、B、C三点的坐标．
（2）首先求出S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•OC，进而得出S_△ABE=S_△ABC求出即可；
（3）作点A关于BC的对称点A′，连接′'D与直线BC交于点P．则可得点P是使△PAD周长最小的点，然后求出直线A′D，直线BC的函数解析式联立方程求出点P的坐标．

解答 解：（1）y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}{x}^{2}-\frac{2}{3}\sqrt{3}x+\sqrt{3}$，
令x=0，得y=$\sqrt{3}$
令y=0，
即0=-$\frac{\sqrt{3}}{3}{x}^{2}-\frac{2}{3}\sqrt{3}x+\sqrt{3}$，
即x²+2x-3=0，
∴x₁=1，x₂=-3
∴A，B，C三点的坐标分别为A（-3，0），B（1，0），C（0，$\sqrt{3}$）；

（2）∵C（0，$\sqrt{3}$），
∴CO=$\sqrt{3}$，
∵A（-3，0），B（1，0），
∴AB=4，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•OC=2$\sqrt{3}$，
又∵△ABE是由△ABC绕AB的中点M旋转180°得到，
∴S_△ABE=S_△ABC，
∴S_{四边形AEBC}=4$\sqrt{3}$；

（3）存在．
D（-1，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）
作出点A关于BC的对称点A′，连接A′D与直线BC交于点P．
则点P是使△PAD周长最小的点．
∵AO=3，
∴FO=3，
CO=$\sqrt{3}$，
∴A′F=2$\sqrt{3}$，
∴求得A′（3，2$\sqrt{3}$）
过A′、D的直线y=$\frac{\sqrt{3}}{6}$x+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
过B、C的直线y=-$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$，
两直线的交点P（-$\frac{3}{7}$，$\frac{10\sqrt{3}}{7}$）．

点评 本题综合考查了二次函数的有关知识以及利用待定系数法求出函数解析式，利用轴对称最短的性质得出P点位置是解题关键．