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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    精英家教网如图，在平面直角坐标系中，点A、C的坐标分别为（-1，0）、（0，-
    		3
    ），点B在x轴上．已知某二次函数的图象经过A、B、C三点，且它的对称轴为直线x=1，点P为直线BC下方的二次函数图象上的一个动点（点P与B、C不重合），过点P作y轴的平行线交BC于点F．
    （1）求该二次函数的解析式；
    （2）若设点P的横坐标为m，用含m的代数式表示线段PF的长；
    （3）求△PBC面积的最大值，并求此时点P的坐标．
    分析：此题文字比较多，而且图象也比较复杂，所以解题时需要理解题意．
    （1）可以采用待定系数法求二次函数的解析式，因为点A（-1，0）、C（0，-
    		3
    ）在函数图象上，对称轴为x=1，也可求得A的对称点B的坐标为（3，0），列方程组即可求得解析式；
    （2）先求得直线BC的解析式为y=
    		3
    3
    x-
    		3
    ，则可求得点F的坐标为(m，
    		3
    3
    m-
    		3
    )    ，再求得点P的纵坐标为
    		3
    3
    m2-
    2
    		3
    3
    m-
    		3
    ，可得线段PF的长；
    （3）利用面积和，△PBC的面积S=S△CPF+S△BPF=
    1
    2
    PF•BO    即可求得．
    解答：解：（1）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数），
    由抛物线的对称性知B点坐标为（3，0），
    依题意得：
    a-b+c=0
    9a+3b+c=0
    c=-
    		3
    ，（1分）
    解得：
    a=
    		3
    3
    b=-
    2
    		3
    3
    c=-
    		3
    ，（2分）
    ∴所求二次函数的解析式为y=
    		3
    3
    x2-
    2
    		3
    3
    x-
    		3
    ；（3分）

    （2）∵P点的横坐标为m，
    ∴P点的纵坐标为
    		3
    3
    m2-
    2
    		3
    3
    m-
    		3
    ，（4分）
    设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0，k、b是常数），
    依题意，得
    3k+b=0
    b=-
    		3
    ，
    ∴
    k=
    		3
    3
    b=-
    		3
    ，
    故直线BC的解析式为y=
    		3
    3
    x-
    		3
    ，（5分）
    ∴点F的坐标为(m，
    		3
    3
    m-
    		3
    )    ，
    ∴PF=-
    		3
    3
    m2+
    		3
    m(0＜m＜3)    ；（6分）

    （3）∵△PBC的面积S=S△CPF+S△BPF=
    1
    2
    PF•BO    =
    1
    2
    ×(-
    		3
    3
    m2+
    		3
    m)×3=-
    		3
    2
    (m-
    3
    2
    )2+
    9
    		3
    8
    ，
    ∴当m=
    3
    2
    时，△PBC的最大面积为
    9
    		3
    8
    ，（8分）
    把m=
    3
    2
    代入y=
    		3
    3
    m2-
    2
    		3
    3
    m-
    		3
    ，
    得y=-
    5
    		3
    4
    ，
    ∴点P的坐标为(
    3
    2
    ，-
    5
    		3
    4
    )    ．（10分）
    点评：此题考查了学生的综合应用能力，要注意数形结合，认真分析，仔细识图．注意待定系数法求函数的解析式，注意函数交点坐标的求法，注意三角形面积的求法．
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    （1）求点B的坐标；
    （2）当∠CPD=∠OAB，且
    BD
    AB
    =
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    ，求这时点P的坐标．

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    5
    29
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    （2）当直线CP把梯形OABC的面积分成相等的两部分时，求直线CP的解析式；
    （3）当△OCP是等腰三角形时，请写出点P的坐标（不要求过程，只需写出结果）．

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