Question

将线段AB绕点A逆时针旋转角度α（0°＜α＜60°）得到线段AC，连接BC得△ABC，又将线段BC绕点B逆时针旋转60°得线段BD（如图①）．
（1）求∠ABD的大小（结果用含α的式子表示）；
（2）又将线段AB绕点B顺时针旋转60°得线段BE，连接CE（如图②）求∠BCE；
（3）连接DC、DE，试探究当α为何值时，∠DEC=45°．

Answer 1

考点：旋转的性质

专题：计算题

分析：（1）由于线段AB绕点A逆时针旋转角度α（0°＜α＜60°）得到线段AC，根据旋转的性质得AB=AC，∠BAC=α，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到∠ABC=∠ACB=90°-

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α，再由线段BC绕点B逆时针旋转60°得线段BD，根据旋转的性质得∠CBD=60°，然后利用∠ABD=∠ABC-∠CBD进行计算；
（2）由线段AB绕点B顺时针旋转60°得线段BE，根据旋转的性质得AB=AE，∠BAE=60°，则AC=AE，∠CAE=60°-α，利用等腰三角形的性质和三角形内角和得到∠ACE=∠AEC=60°+

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α，然后利用∠BCE=∠ACB+∠ACE计算得到∠BCE=150°；
（3）由线段BC绕点B逆时针旋转60°得线段BD，根据旋转的性质得BC=BD，∠CBD=60°，则可判断△BCD为等腰直角三角形，则∠BCD=60°，CD=BC，
所以∠DCE=∠BCE-∠BCD=90°，加上∠DEC=45°，于是△DEC为等腰直角三角形，则CE=CD，所以CB=CE，然后利用“SSS”证明△ABC≌△AEC，得到∠BAC=∠EAC，所以α=

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∠BAE=30°．

解答：解：（1）∵线段AB绕点A逆时针旋转角度α（0°＜α＜60°）得到线段AC，
∴AB=AC，∠BAC=α，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ABC=∠ACB=

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（180°-α）=90°-

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α，
∵线段BC绕点B逆时针旋转60°得线段BD，
∴∠CBD=60°，
∴∠ABD=∠ABC-∠CBD=90°-

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α-60°=30°-

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α（0°＜α＜60°）；
（2）∵线段AB绕点B顺时针旋转60°得线段BE，
∴AB=AE，∠BAE=60°，
∴AC=AE，∠CAE=60°-α，
∴∠ACE=∠AEC=

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（180°-60°+α）=60°+

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α，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°-

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α+60°+

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α=150°；
（3）如图②，
∵线段BC绕点B逆时针旋转60°得线段BD，
∴BC=BD，∠CBD=60°，
∴△BCD为等边三角形，
∴∠BCD=60°，CD=BC，
∴∠DCE=∠BCE-∠BCD=150°-60°=90°，
∵∠DEC=45°，
∴△DEC为等腰直角三角形，
∴CE=CD，
∴CB=CE，
在△ABC和△AEC中

AB=AE AC=AC CB=CE

，
∴△ABC≌△AEC（SSS），
∴∠BAC=∠EAC，
∴∠BAC=

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∠BAE=30°，
即α=30°，
当α为30°时，∠DEC=45°．

点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等腰三角形的性质和等边三角形的判定与性质．