Question

已知抛物线y=ax²-2ax+b的图象经过点A（-3，6），并与X轴交于点B（-1，0）和点C，顶点为P．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图，设D为线段OC上的一点，满足∠DPC=∠BAC，求点D的坐标．
（3）设直线AC交y轴于S，直线CP交y轴于T，若点M为OT上一动点，过M点作MN⊥y轴交SC延长成于N，在CT的延长线上截取TQ=SN，连接NQ交y轴于R，下面有两个结论：①MR的长度不变；②为定值．上述结论有且只有一个是正确的，请选择你认为正确的结论度证明求值．

Answer 1

解：（1）把A（-3，6）和B（-1，0）代入y=ax²-2ax+b得，9a+6a+b=6，a+2a+b=0，解得a=，b=-，
∴抛物线的解析式为：y=x²-x-；

（2）作AH⊥x轴与H，PG⊥x轴于G，如图，

对于y=x²-x-，令y=0，x²-x-=0，解得x₁=-1，x₂=3，
∴C点坐标为（3，0）；
∵y=x²-x-=（x-1）²-2，
∴P点坐标为（1，-2），
∴△AHC和△PGC都是等腰直角三角形，
∴∠ACB=∠PCD=45°，AC=AH=6，PC=PG=2，
∵∠DPC=∠BAC，
∴△DPC∽△BAC，
∴DC：BC=PC：AC，即DC：4=2：6，
∴DC=，
∴OD=OC-DC=3-=，
∴D点坐标为（，0）；

（3）①MR的长度不变是正确的．理由如下：
设OM=t，
∵∠SCB=∠BCP=45°，
∴BS=BC=3，∠TCS=90°，
∴△TSC、△SMN、△TQE都为等腰直角三角形，
∴ST=SC=BC=6，MN=MS=3+t，
∴OT=3，MT=3-t，
又∵TQ=SN，
∴Rt△TQE≌Rt△SNM，
∴QE=MN=3+t，
∴RM=RE，TE=QE=3+t，
∴ME=MT+TE=3-t+3+t=6，
∴MR=ME=3，即MR的长度不变；
而RT=MR-MT=3-（3-t）=t，
∴=，即随t的变化而变化．
分析：（1）把A（-3，6）和B（-1，0）代入y=ax²-2ax+b得关于a和b的方程组，解方程组即可；
（2）先求出A点、C点和P点坐标，通过坐标特点得到△AHC和△PGC都是等腰直角三角形，则∠ACB=∠PCD=45°，AC=AH=6，PC=PG=2，满足∠DPC=∠BAC，则△DPC∽△BAC，利用相似比计算出CD，在计算出OD，即可得到点D的坐标．
（3）设OM=t，由（2）易得△TSC、△SMN、△TQE都为等腰直角三角形，ST=SC=BC=6，MN=MS=3+t，得OT=3，MT=3-t；易证Rt△TQE≌Rt△SNM，得到QE=MN=3+t，则RM=RE，TE=QE=3+t，可求出ME=MT+TE=3-t+3+t=6，从而得到MR=ME=3，即MR的长度不变．
点评：本题考查了二次函数解析式的确定：把抛物线上的点的坐标代入解析式确定字母的值即可．也考查了利用坐标表示线段、等腰直角三角形的性质、三角形全等和相似的判定与性质．