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已知抛物线y=ax2-2ax+b的图象经过点A(-3,6),并与X轴交于点B(-1,0)和点C,顶点为P.
(1)求抛物线的解析式.
(2)如图,设D为线段OC上的一点,满足∠DPC=∠BAC,求点D的坐标.
(3)设直线AC交y轴于S,直线CP交y轴于T,若点M为OT上一动点,过M点作MN⊥y轴交SC延长成于N,在CT的延长线上截取TQ=SN,连接NQ交y轴于R,下面有两个结论:①MR的长度不变;②数学公式为定值.上述结论有且只有一个是正确的,请选择你认为正确的结论度证明求值.

解:(1)把A(-3,6)和B(-1,0)代入y=ax2-2ax+b得,9a+6a+b=6,a+2a+b=0,解得a=,b=-
∴抛物线的解析式为:y=x2-x-

(2)作AH⊥x轴与H,PG⊥x轴于G,如图,

对于y=x2-x-,令y=0,x2-x-=0,解得x1=-1,x2=3,
∴C点坐标为(3,0);
∵y=x2-x-=(x-1)2-2,
∴P点坐标为(1,-2),
∴△AHC和△PGC都是等腰直角三角形,
∴∠ACB=∠PCD=45°,AC=AH=6,PC=PG=2
∵∠DPC=∠BAC,
∴△DPC∽△BAC,
∴DC:BC=PC:AC,即DC:4=2:6
∴DC=
∴OD=OC-DC=3-=
∴D点坐标为(,0);

(3)①MR的长度不变是正确的.理由如下:
设OM=t,
∵∠SCB=∠BCP=45°,
∴BS=BC=3,∠TCS=90°,
∴△TSC、△SMN、△TQE都为等腰直角三角形,
∴ST=SC=BC=6,MN=MS=3+t,
∴OT=3,MT=3-t,
又∵TQ=SN,
∴Rt△TQE≌Rt△SNM,
∴QE=MN=3+t,
∴RM=RE,TE=QE=3+t,
∴ME=MT+TE=3-t+3+t=6,
∴MR=ME=3,即MR的长度不变;
而RT=MR-MT=3-(3-t)=t,
=,即随t的变化而变化.
分析:(1)把A(-3,6)和B(-1,0)代入y=ax2-2ax+b得关于a和b的方程组,解方程组即可;
(2)先求出A点、C点和P点坐标,通过坐标特点得到△AHC和△PGC都是等腰直角三角形,则∠ACB=∠PCD=45°,AC=AH=6,PC=PG=2,满足∠DPC=∠BAC,则△DPC∽△BAC,利用相似比计算出CD,在计算出OD,即可得到点D的坐标.
(3)设OM=t,由(2)易得△TSC、△SMN、△TQE都为等腰直角三角形,ST=SC=BC=6,MN=MS=3+t,得OT=3,MT=3-t;易证Rt△TQE≌Rt△SNM,得到QE=MN=3+t,则RM=RE,TE=QE=3+t,可求出ME=MT+TE=3-t+3+t=6,从而得到MR=ME=3,即MR的长度不变.
点评:本题考查了二次函数解析式的确定:把抛物线上的点的坐标代入解析式确定字母的值即可.也考查了利用坐标表示线段、等腰直角三角形的性质、三角形全等和相似的判定与性质.
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2
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