如图.已知抛物线y=-$\frac{1}{3}$x2+bx+1与y轴交于点C.点A.点B(1.0).直线AB与抛物线相交于点D.点E位于第一象限内.且在直线AD上方的抛物线上.连结EA.EB．(1)如图1.若点C关于抛物线对称轴的对称点是点D．①求抛物线的解析式,②设所得△ABE的面积为S.求S的取值范围．(2)如图2.若点D的坐标为.连结CD.CB.记抛物线与x轴的交点为F.问:是否存在� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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10．如图，已知抛物线y=-$\frac{1}{3}$x²+bx+1与y轴交于点C，点A（0，-$\frac{1}{2}$），点B（1，0），直线AB与抛物线相交于点D，点E位于第一象限内，且在直线AD上方（不含点D）的抛物线上，连结EA、EB．
（1）如图1，若点C关于抛物线对称轴的对称点是点D．
①求抛物线的解析式；
②设所得△ABE的面积为S，求S的取值范围．
（2）如图2，若点D的坐标为（-1，-1），连结CD、CB，记抛物线与x轴的交点为F，问：是否存在这样的点E，使得tan∠BDC×tan∠EBF=1？，若存在，请求出满足条件的点E的横坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）①根据抛物线的对称轴x=$\frac{3}{2}$b及C（0，1）得点D的坐标为（3b，1），求出直线AB解析式，将点D坐标代入可得b的值；
②设过点E且与AB平行的直线为y=$\frac{1}{2}$x+k，当此直线与抛物线只有一个公共点时面积最大，即-$\frac{1}{3}$x²+x+1=$\frac{1}{2}$x+k只有一个实数根，从而求得k的值，即可知此直线与x轴的交点，结合直线的斜率得出△ABE的高，根据三角形的面积公式可得最大值，从而知S的范围；
（2）由点D（-1，-1）求得抛物线解析式，根据△DCB的面积得出C到直线AB的距离，从而知sin∠BDC=$\frac{\frac{3}{\sqrt{5}}}{\sqrt{5}}$=$\frac{3}{5}$、tan∠BDC=$\frac{3}{4}$，根据tan∠BDC×tan∠EBF=1知tan∠EBF=$\frac{4}{3}$，设E（x，-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{5}{3}$x+1），有$\frac{-\frac{1}{3}{x}^{2}+\frac{5}{3}x+1}{x-1}$=$\frac{4}{3}$，解之可得．

解答解：（1）①∵抛物线的对称轴为x=$\frac{3}{2}$b，且与y轴的交点C（0，1），
∴点D的坐标为（3b，1），
∵A（0，$\frac{1}{2}$）、B（1，0），
∴直线AB的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$，
将点D（3b，1）代入得：1=$\frac{3}{2}$b-$\frac{1}{2}$，
解得：b=1，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x²+x+1；
②设过点E且与AB平行的直线为y=$\frac{1}{2}$x+k，
当此直线与抛物线只有一个公共点时面积最大，
∴-$\frac{1}{3}$x²+x+1=$\frac{1}{2}$x+k，即-$\frac{1}{3}$x²-$\frac{1}{2}$x+k-1=0，
由△=0可得$\frac{1}{4}$-$\frac{4}{3}$（k-1）=0，解得：k=$\frac{19}{16}$，
∴y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{19}{16}$，与x轴的交点为（-$\frac{19}{8}$，0），
∴△ABE的高为（$\frac{19}{8}$+1）sin∠ABO=$\frac{27}{8}$×$\frac{1}{\sqrt{5}}$，
∵AB=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴S的最大值为$\frac{1}{2}$×$\frac{27}{8}$×$\frac{1}{\sqrt{5}}$×$\frac{\sqrt{5}}{2}$=$\frac{27}{32}$，
∴0＜S＜$\frac{27}{32}$．

（2）将D（-1，-1）代入y=-$\frac{1}{3}$x²+bx+1，得：b=$\frac{5}{3}$，
∴y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{5}{3}$x+1，

∵△DCB的面积=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×2=$\frac{3}{2}$，
∴C到直线AB的距离为$\frac{\frac{3}{2}×2}{\sqrt{5}}$=$\frac{3}{\sqrt{5}}$，
∴sin∠BDC=$\frac{\frac{3}{\sqrt{5}}}{\sqrt{5}}$=$\frac{3}{5}$，
∴tan∠BDC=$\frac{3}{4}$，
∵tan∠BDC×tan∠EBF=1，
∴tan∠EBF=$\frac{4}{3}$，
设E（x，-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{5}{3}$x+1），
∴$\frac{-\frac{1}{3}{x}^{2}+\frac{5}{3}x+1}{x-1}$=$\frac{4}{3}$，
解得：x=$\frac{1+\sqrt{29}}{2}$或x=$\frac{1-\sqrt{29}}{2}$（舍），
∴点E的横坐标为$\frac{1+\sqrt{29}}{2}$．

点评本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握待定系数法求函数解析式、三角形的面积、三角函数的应用及点到直线的距离、平行线间的距离是解题的关键．

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