Question

19．如图1，已知直线l：y=-x+2与x轴交于点A、与y轴交于点B．抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过O、A两点，与直线l交于点C，点C的横坐标为-1．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若点P是位于直线l下方抛物线上的一个动点，且不与点A、点C重合，连接PA、PC．设△PAC的面积为S，求当S取得最大值时点P的坐标，并求S的最大值；
（3）如图2，设抛物线的顶点为D，连接AD、BD．点E是对称轴m上一点，F是抛物线上一点，请直接写出当△DEF与△ABD相似时点E的坐标．

Answer 1

分析 （1）先根据一次函数图象上点的坐标特征求出C（-1，3），A（2，0），再设交点式y=ax（ x-2 ），然后把点C点坐标代入求出a即可得到该抛物线解析式为y=x²-2x；
（2）设P（m，m²-2m），过点P作PQ∥y轴，交直线l于点Q，如图1，则Q（m，-m+2），则PQ=-m²+m+2，根据三角形面积公式，利用S=S_△PQC+S_△PQA可得到S=-$\frac{3}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+3，然后根据二次函数的性质解决最值问题；
（3）设F点坐标为（t，t²-2t），先确定D（1，-1），B（0，2），再利用勾股定理的逆定理证明△ABD为直角三角形，∠BAD=90°，然后分类讨论：如图2，当△DEF∽△BAD，则∠DEF=∠BAD=90°，利用相似比得DE=2EF，由于EF⊥DE，则E（1，t²-2t），所以t²-2t+1=2（t-1），解得t₁=1（舍去），t₂=3，易得此时E点坐标为（1，3）；当△DEF∽△DAB，则∠DEF=∠BAD=90°，$\frac{DE}{AD}$=$\frac{EF}{AB}$，利用相似比得DE=$\frac{1}{2}$EF，
由EF⊥DE得到E（1，t²-2t），则t²-2t+1=$\frac{1}{2}$（t-1），解得t₁=1（舍去），t₂=$\frac{3}{2}$，易得此时E点坐标为（1，-$\frac{3}{4}$）；如图3，当△DFE∽△BAD，则∠DFE=∠BAD=90°，∠FDE=∠ADB，过F点作FG⊥DE于G，则△DGF∽△BAD，用前面方法可得G（1，3），则F（3，3），利用GF²=GE•GD可计算出GE=1，则此时E点坐标为（1，4）；当△DFE∽△DAB，则∠DFE=∠BAD=90°，用同样方法可得E点坐标为（1，$\frac{1}{4}$）．

解答 解：（1）当x=-1时，y=-x+2=3，则C（-1，3），
当y=0时，-x+2=0，解得x=2，则A（2，0），
∵抛物线过点O（0，0）、A（2，0），
设抛物线解析式为y=ax（ x-2 ），
将点C（-1，3）代入得3=-a•（-1-2 ），解得a=1，
∴该抛物线解析式为y=x（ x-2 ），即y=x²-2x；
（2）设P（m，m²-2m），过点P作PQ∥y轴，交直线l于点Q，如图1，则Q（m，-m+2），
∴PQ=（-m+2 ）-（m²-2m）=-m²+m+2，
∴S=S_△PQC+S_△PQA=$\frac{1}{2}$•（2+1）•PQ=-$\frac{3}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+3=-$\frac{3}{2}$（m-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，
∴当m=$\frac{1}{2}$时，S有最大值，最大值为$\frac{27}{8}$，
把m=$\frac{1}{2}$代入m²-2m得m²-2m=-$\frac{3}{4}$，
∴P（$\frac{1}{2}$，-$\frac{3}{4}$）；
（3）设F点坐标为（t，t²-2t），
当x=1时，y=x²-2x=-1，则D（1，-1），当x=0时，y=-x+2=2，则B（0，2），
∵AB²=2²+2²=8，AD²=1²+1²=2，DB²=1²+（2+1）²=10，
∴AB²+AD²=DB²，
∴△ABD为直角三角形，∠BAD=90°，
如图2，
当△DEF∽△BAD，则∠DEF=∠BAD=90°，$\frac{DE}{AB}$=$\frac{EF}{AD}$，即DE：2$\sqrt{2}$=EF：$\sqrt{2}$，
∴DE=2EF，
∵EF⊥DE，
∴E（1，t²-2t），
∴t²-2t+1=2（t-1），解得t₁=1（舍去），t₂=3，此时E点坐标为（1，3）；
当△DEF∽△DAB，则∠DEF=∠BAD=90°，$\frac{DE}{AD}$=$\frac{EF}{AB}$，即DE：$\sqrt{2}$=EF：2$\sqrt{2}$，
∴DE=$\frac{1}{2}$EF，
∵EF⊥DE，
∴E（1，t²-2t），
∴t²-2t+1=$\frac{1}{2}$（t-1），解得t₁=1（舍去），t₂=$\frac{3}{2}$，此时E点坐标为（1，-$\frac{3}{4}$）；
如图3，
当△DFE∽△BAD，则∠DFE=∠BAD=90°，∠FDE=∠ADB，
过F点作FG⊥DE于G，则△DGF∽△BAD，同样方法可得G（1，3），则F（3，3），
∵GF²=GE•GD，即2²=GE•4，
∴GE=1，
∴此时E点坐标为（1，4）；
当△DFE∽△DAB，则∠DFE=∠BAD=90°，用同样方法可得E点坐标为（1，$\frac{1}{4}$），
综上所述，E点坐标为（1，3），（1，4），（1，$\frac{1}{4}$），（1，-$\frac{3}{4}$）．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征；会运用待定系数法求函数解析式；能灵活运用相似三角形性质表示线段之间的关系；理解坐标与图形性质，会运用勾股定理的逆定理证明三角形为直角三角形；学会用分类讨论的思想解决数学问题．