Question

（1）正方形ABCD与等腰直角三角形PAQ如图1所示重叠在一起，其中∠PAQ=90°，点Q在BC上，连接PD，△ADP与△ABQ全等吗？请说明理由．
（2）如图2，O为正方形ABCD对角线的交点，将一直角三角板FPQ的直角顶点F与点O重合转动三角板使两直角边始终与BC、AB相交于点M、N，使探索OM与ON的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，将（2）中的“正方形”改成“长方形”，其它的条件不变，且AB=4，AD=6，FM=x，FN=y，试求y与x之间的函数关系式．

Answer 1

分析：（1）根据正方形的性质和等腰直角三角形的性质就可以求得△ADP与△ABQ全等；
（2）根据正方形的性质和等腰直角三角形的性质就可以得△ANO≌△BMO，从而得出ON=OM；
（3）过点O作OE⊥AB于E，O H⊥BC于H，由条件求出OE、OH的值，再通过证明△OEN∽△OHM，利用相似三角形的性质就可以求出结论．

解答：解：（1）△ADP≌△ABQ．
理由：如图1，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=∠ADP=∠BAD=90°
∵△PAQ是等腰直角三角形，
∴AQ=AP．
∵∠PAQ=90°，
∴∠BAD=∠PAQ，
∴∠BAD-∠QAD=∠PAQ-∠QAD，
∴∠BAQ=∠PAD．
∵在△ADP和△ABQ中，

∠BAQ=∠PAD AB=AD ∠B=∠ADP

，
∴△ADP≌△ABQ（ASA）；

（2）OM=ON．
理由：如图2，∵四边形ABCD是正方形，
∴AO=BO，∠AOB=90°，∠OAB=∠OBC=45°．
∴∠AOB=∠POQ，
∴∠AOB-∠NOB=∠POQ-∠NOB，
∴∠AON=∠BOM
∵在△AON和△BOM中，

∠AON=∠BOM AO=BO ∠OAB=∠OBC

，
∴△AON≌△BOM（ASA）
∴OM=ON；

（3）如图4，过点O作OE⊥AB于E，O H⊥BC于H，
∴∠OEN=∠OHM=90°，OE=

1

2

AD，OH=

1

2

AB．
∵AB=4，AD=6，
∴OE=3，OH=2．
∵∠ABC=90°，
∴四边形EBHO是矩形，
∴∠EOH=90°，
∴∠EOH=∠POQ，
∴∠EOH-∠EOM=∠POQ-∠EOM，
∴∠EON=∠HOM．
∴△OEN∽△OHM，
∴

OE

OH

=

ON

OM

．
∵OM=x，ON=y，
∴

3

2

=

y

x

，
∴y=

3

2

x．

点评：本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，正方形的性质、等腰直角三角形的性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，在求函数的解析式时证明三角形相似是关键．