Question

已知抛物线经过点A（0，4）、B（1，4）、C（3，2），与x轴正半轴交于点D．
（1）求此抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）在x轴上求一点E，使得△BCE是以BC为底边的等腰三角形；
（3）在（2）的条件下，过线段ED上动点P作直线PF∥BC，与BE、CE分别交于点F、G，将△EFG沿FG翻折得到△E′FG．设P（x，0），△E′FG与四边形FGCB重叠部分的面积为S，求S与x的函数关系式及自变量x的取值范围．

Answer 1

解：（1）依题意，设所求抛物线的解析式为y=ax²+bx+4，
则，
解得，
∴所求抛物线的解析式为．
由，
解得x₁=4，x₂=-3．
∴D（4，0）．

（2）如图，过点C作CN⊥x轴于N，过点E、B分别
作x轴、y轴的垂线，两线交于点M．
∴∠M=∠CNE=90度．
设E（a，0），EB=EC．
∴BM²+EM²=CN²+EN²．
∴（1-a）²+（4-0）²=（2-0）²+（3-a）²．
解得a=-1．
∴E（-1，0）．

（3）可求得直线BC的解析式为y=-x+5．
从而直线BC与x轴的交点为H（5，0）．
如图，根据轴对称性可知S_△E′FG=S_△EFG，
当点E′在BC上时，点F是BE的中点．
∵FG∥BC，
∴△EFP∽△EBH．
可证EP=PH．
∵E（-1，0），H（5，0），
∴P（2，0）．
（i）如图，分别过点B、C作BK⊥ED于K，
CJ⊥ED于J，
则S_△BCE=S_△BEH-S_△CEH=EH•（BK-CJ）=6．
当-1＜x≤2时，
∵PF∥BC，
∴△EGP∽△ECH，△EFG∽△EBC．
∴，
∵P（x，0），E（-1，0），H（5，0），
∴EP=x+1，EH=6．
∴S=S_△E′FG=S_△EFG==x²+x+（-1＜x≤2）．
（ii）如图，当2＜x≤4时，在x轴上截取一点Q，使得PQ=HP，过点Q作
QM∥FG，分别交EB、EC于M、N．
可证S=S_{四边形MNGF}，△ENQ∽△ECH，△EMN∽△EBC．
∴=，==
∵P（x，0），E（-1，0），H（5，0），
∴EH=6，PQ=PH=5-x，EP=x+1，
EQ=6-2（5-x）=2x-4．
∴S_△EMN=
同（i）可得S_△EFG=，
∴S=S_△EFG-S_△EMN=-=-x²+3x-（2＜x≤4）．
综上，．
分析：（1）根据抛物线经过点A（0，4）、B（1，4）、C（3，2），于是可设出一般式，用待定系数法求出解析式，再根据解析式求出D点坐标；
（2）设出E点坐标，作出辅助直角三角形，运用等腰三角形的性质和勾股定理建立等式，求出E点坐标；
（3）由于P点为动点，故根据x的不同取值会得到不同的重叠图形．由于BC的中点横坐标为=2，抛物线与x轴的交点横坐标4，所以分-1＜x≤2，2＜x≤4等情况讨论．
点评：此题不仅考查了用待定系数法求二次函数解析式，还结合等腰三角形的性质考查了运用勾股定理求线段的长，解（3）时要注意进行分类讨论．