Question

如图，直线y=-

3

3

x+

3

与x轴、y轴相交于点A、B．点P坐标为（-1，0），将△PAB沿直线AB翻折得到△CAB，点C恰好为经过点A的抛物线的顶点．
（1）求∠BAO的度数；
（2）求此抛物线的解析式．

Answer 1

分析：（1）首先求出A，B两点坐标，再利用锐角三角函数求出∠BOA的度数；
（2）利用翻折的性质求出C点坐标，利用顶点式求出二次函数解析式即可．

解答：解：（1）∵直线y=-

3

3

x+

3

与x轴、y轴相交于点A、B，
∴0=-

3

3

x+

3

，
∴x=3，
∴A点坐标为：（3，0），
当x=0，
∴y=

3

，
∴B点坐标为：（0，

3

），
∴BO=

3

，AO=3，
∴tan∠BOA=

3

3

，
∴∠BOA=30°；

（2）过点C作CD⊥y轴，
点P坐标为（-1，0），
∴PO=1，
∵BO=

3

，
∴PB=

1 2+( 3 ) 2

=2，
∴tan∠POB=

1

3

=

3

3

，
∴∠POB=30°，
∴∠BPA=30°，
∴∠PBA=90°，
∵将△PAB沿直线AB翻折得到△CAB，
∴BC=PB=2，CD=PO=1，
∴BD=

3

，
∴DO=2

3

，
∴C点坐标为：（1，2

3

），
∵点C恰好为经过点A的抛物线的顶点．
∴二次函数解析式为：y=a（x-1）²+2

3

，
将（3，0）代入解析式得：
0=a（3-1）²+2

3

，
∴a=-

3

2

，
∴此抛物线的解析式为：y=-

3

2

（x-1）²+2

3

．

点评：此题考查了二次函数的综合应用；图形的翻折问题要找准对应量，进行线段与角的等效转移，利用直角三角形求解是正确解答本题的关键．