Question

宏远广告公司要为某企业的一种产品设计商标图案，给出了如下几种初步方案，供继续设计选用（设图中圆的半径均为r）
（1）如图1，分别以线段O₁O₂的两个端点为圆心，以这条线段的长为半径作出两个互相交错的圆的图案，试求两圆相交部分的面积；
（2）如图2，分别以等边△O₁O₂O₃的三个顶点为圆心，以其边长为半径，作出三个两两相交的相同的圆，这时，这三个圆相交部分的面积又是多少呢？
（3）如图3，分别以正方形O₁O₂O₃O₄的四个顶点为圆心，以其边长为半径，作出四个相同的圆，这时，这四个圆相交部分的面积又是多少呢？

Answer 1

解：（1）设两圆交于A，B两点，连接O₁A，O₂A，O₁B，O₂B．
则S_阴=S_菱形+4S_弓．
∵S_菱形=2，△O₁O₂A为正三角形，其边长为r．
∴=，S_弓=-=．
∴S_阴=2×+4（）=πr²-r²．


（2）图2阴影部分的面积为：
S_阴=+3S_弓
∵△O₁O₂O₃为正三角形，边长为r，
∴=．
∴S_弓=-．
S_阴=+3（-）=．

（3）延长O₂O₁与⊙O₁交于点A，⊙O₁与⊙O₄交于点B．
由（1）知，=（-）．
∵=-=-（-）=+，
则-4=r²-4（+）=（+1-）r²．
分析：（1）设两圆交于A，B两点，连接O₁A，O₂A，O₁B，O₂B．
求两圆相交部分的面积，即求S_菱形+4S_弓的面积．由题意知△O₁O₂A为正三角形，四个弓形的圆心角为60°，分别求出求S_菱形，及弓形的面积即可；
（2）求三个圆相交部分的面积，即求S_△O1O2A+3S_弓．由题意知△O₁O₂A为正三角形，三个弓形的圆心角为60°，分别求△O₁O₂O₃的面积，及弓形的面积即可；
（3）要求四个圆相交部分的面积，即求S_正方形-4，而=-，由（1）可求．
点评：本题难度较大，考查圆与圆的位置关系中，互相交错的圆的图案的面积问题，同时考查了综合应用能力及推理能力．