Question

（2013•绵阳）已知整数k＜5，若△ABC的边长均满足关于x的方程x²-3

k

x+8=0，则△ABC的周长是

6或12或10

．

Answer 1

分析：根据题意得k≥0且（3

k

）²-4×8≥0，而整数k＜5，则k=4，方程变形为x²-6x+8=0，解得x₁=2，x₂=4，由于△ABC的边长均满足关于x的方程x²-6x+8=0，
所以△ABC的边长可以为2、2、2或4、4、4或4、4、2，然后分别计算三角形周长．

解答：解：根据题意得k≥0且（3

k

）²-4×8≥0，
解得k≥

32

9

，
∵整数k＜5，
∴k=4，
∴方程变形为x²-6x+8=0，解得x₁=2，x₂=4，
∵△ABC的边长均满足关于x的方程x²-6x+8=0，
∴△ABC的边长为2、2、2或4、4、4或4、4、2，
∴△ABC的周长为6或12或10．
故答案为：6或12或10．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了因式分解法解一元二次方程以及三角形三边的关系．