Question

3．已知：如图，在△ABC中，AB＞AC，AM是中线，AD是高，AE是角平分线，并且∠DAE=∠MAE，求证：∠BAC=90°．

Answer 1

分析 作△ABC的外接圆，延长AM，AE，AD，交其外接圆于M′，E′，D′，连接BD′，D′E′，E′M′，M′C，D′M′，由AE是角平分线，并且∠DAE=∠MAE，得到∠BAE=∠CA推出$\widehat{BM′}$=$\widehat{CD′}$，于是得到$\widehat{BD′}$=$\widehat{CM′}$，M′D′∥BC，求得BD′=CM′，证得AM′是圆的直径，得到∠AE′M′=90°，得到ME′⊥BC，推出ME′∥AD，于是得到∠ME′A=∠EAD=∠MAE，得到AM=ME′，由于∠M′E′M=90°-∠ME′A=90°-∠MAE′=∠MM′E′，于是得到MM′=ME′=AM，即点M是圆心，求得BC是直径，即可得到结论．

解答 解：作△ABC的外接圆，延长AM，AE，AD，交其外接圆于M′，E′，D′，连接BD′，D′E′，E′M′，M′C，D′M′，
∵AE是角平分线，并且∠DAE=∠MAE，
∴∠BAE=∠CAE，
∴∠BAM=∠CAD，
∴$\widehat{BM′}$=$\widehat{CD′}$，
∴$\widehat{BD′}$=$\widehat{CM′}$，M′D′∥BC，
∴BD′=CM′，
∴D′E′=E′M′，
∵AD⊥BC，
∴D′M′⊥AD′，
∴AM′是圆的直径，
∴∠AE′M′=90°，
∵AM是AM是中线，E′是$\widehat{BC}$的中点，
∴ME′⊥BC，
∴ME′∥AD，
∴∠ME′A=∠EAD=∠MAE，
∴AM=ME′，∵∠M′E′M=90°-∠ME′A=90°-∠MAE′=∠MM′E′，
∴MM′=ME′=AM，
即点M是圆心，∴BC是直径，
∴∠BAC=90°．

点评 本题考查了三角形的内角和，垂径定理，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．