Question

如图，在△ABC中，AB=AC，CD⊥AB于点D，CE为△ACD的角平分线，EF⊥BC于点F，EF交CD于点G．求证：BE=CG．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质

专题：证明题

分析：过点A作AP⊥BC于点P，求出∠BAP=∠PAC，求出∠BAP=∠PAC=∠BCD，∠ACE=∠ECD，推出2（∠BCD+∠ECD）=90°，求出∠BCE=∠FEC=45°，推出EF=FC，求出∠BEF=∠BAP=∠BCD，∠BFE=∠EFC=90°，根据ASA证出△BFE≌△GFC即可．

解答：证明：过点A作AP⊥BC于点P，∠APB=90°，
∵AB=AC，
∴∠BAP=∠PAC，
∵CD⊥AB，
∴∠B+∠BCD=180°-∠CDB=90°，
∵∠B+∠BAP=180°-∠APB=90°，
∴∠BAP=∠PAC=∠BCD，
∵CE平分∠DCA，
∴∠ACE=∠ECD，
∵∠APC+∠PCA+∠PAC=180°，
∴∠ACE+∠DCE+∠PCD+∠PAC=90°
∴2（∠BCD+∠ECD）=90°，
∴∠BCE=45°，
∵EF⊥BC，
∴∠EFC=90°
∴∠FEC=180°-∠EFC-∠ECF=45°，
∴∠FEC=∠ECF，
∴EF=FC，
∵EF⊥BC，
∴∠EFC=∠APC=90°，
∴EF∥AP，
∴∠BEF=∠BAP=∠BCD，
∵EF⊥BC，
∴∠BFE=∠EFC=90°，
∵在△BFE和△GFC中，

∠BEF=∠FCG EF=FC ∠EFB=∠CFG

，
∴△BFE≌△GFC（ASA），
∴BE=CG．

点评：本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点的综合运用，题目的难度中等．