Question

如图，已知抛物线y=（a+2）x²+4ax+a²-1经过坐标原点，交x轴的正半轴于点D．
（1）求a的值；
（2）设抛物线的顶点为M，利用尺规，在抛物线的对称轴上，作点N，使得△OMN为等腰三角形．若不止一个，则分别记作N₁、N₂、N₃、…；
（3）若点P为抛物线对称轴右侧部分上的一点，过点P作PA⊥x轴于点A，PB∥x轴交抛物线左侧部分于点B，过点B作BC⊥x轴于点C，问：是否存在这样的点P，使得矩形PACB恰好为正方形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=（a+2）x²+4ax+a²-1经过坐标原点，
∴把（0，0）代入y=（a+2）x²+4ax+a²-1，
解得a=±1，
∵抛物线的对称轴x大于0，经检验，a=1不合题意，舍去；a=-1符合题意，
∴a=-1；

（2）∵y=x²-4x=（x-2）²-4
∴M（2，-4），
∴OM=2，
符合题意的点N共有4个，N₁等腰三角形N₁OM的顶点，（2，-1.5），
N₂是等腰三角形N₂OM底边上的点，（2，4）；
N₃是等腰三角形OMN₃底边上的点，（2，-4-2）；
N₄是等腰三角形OMN₄底边上的点，（2，2-4）．
如图：


（3）设P（x，y）．
①当点P在第一象限，如图1，
由题意矩形PACB恰好为正方形，则PB=PA，
PA=x²-4x，PB=2（x-2），得 x²-4x=2（x-2），
解得x=3+，x=3-（舍去）．
∴P（3+，2+2）；
②当点P在第四象限，如图2：
由题意矩形PACB恰好为正方形，则PB=PA，
得4x-x²=2（x-2），
解得x=1+，x=1- （舍去），
∴P（1+，2-2），
∴存在P₁（3+，2+2）、P₂（1+，2-2），使得矩形PACB恰好为正方形．

分析：（1）抛物线y=（a+2）x²+4ax+a²-1经过坐标原点，把坐标（0，0）代入抛物线解析式，求出a的值即可；
（2）在抛物线的对称轴上作出所有使得△OMN为等腰三角形的N点即可；
（3）假如存在，设点P（x，y），分别讨论点P在第一象限和第四象限时，矩形PACB恰好为正方形得PA=PB，得到关于x的一元二次方程，解出x的值即可．
点评：本题主要考查了二次函数、正方形性质等知识点，解答本题的关键是掌握二次函数的性质，会求二次函数的对称轴、熟练掌握正方形的性质，此题难度一般．