Question

【题目】如图，在ABC中，ACB 90，BAC 30， AB2，D是AB边上的一个动点（点D不与点A、B重合），连接CD，过点D作CD的垂线交射线CA于点E．当ADE为等腰三角形时，AD的长度为__________．

Answer 1

【答案】1或

【解析】

分两种情况：①当点E在AC上，AE＝DE时，则∠EDA＝∠BAC＝30°，由含30°角的直角三角形的性质得出BC＝1，∠B＝60°，证出△BCD是等边三角形，得出AD＝AB－BD＝1；②当点E在射线CA上，AE＝AD时，得出∠E＝∠ADE＝15°，由三角形内角和定理求出∠ACD＝∠CDA，由等角对等边得出AD＝AC＝即可．

解：分两种情况：①当点E在AC上，AE＝DE时，

∴∠EDA＝∠BAC＝30°，

∵DE⊥CD，

∴∠BDC＝60°，

∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，

∴BC＝AB＝1，∠B＝60°，

∴△BCD是等边三角形，

∴BD＝BC＝1，

∴AD＝AB－BD＝1；

②当点E在射线CA上，AE＝AD时，如图所示：

∵∠BAC＝30°，

∴∠E＝∠ADE＝15°，

∵DE⊥CD，

∴∠CDA＝90°15°＝75°，

∴∠ACD＝180°30°75°＝75°＝∠CDA，

∴AD＝AC＝，

综上所述：AD的长度为1或；

故答案为：1或．