Question

如图，在梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E．
（1）求证：AD=ED；
（2）若AD=6，AB=18，求四边形ABFD的面积．

Answer 1

分析：（1）延长DF交BC于点G，可得四边形ABGD是矩形，根据矩形的性质可得AD=BG，然后利用“边角边”证明△BCF和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠CDF=∠CBF，全等三角形对应边相等可得BF=DF，再利用“角边角”证明△BGF和△DEF全等，根据全等三角形对应边相等可得BG=DE，从而得证；
（2）设DF=x，然后表示出BF，FG，在Rt△BFG中，利用勾股定理列式求解得到DF的长，再根据梯形的面积公式列式计算即可得解．

解答：解：（1）延长DF交BC于点G，
∵∠ABC=90°，AD∥BC，DF∥AB，
∴四边形ABGD是矩形，
∴AD=BG，
∵CF平分∠BCD，
∴∠BCF=∠DCF，
在△BCF和△DCF中，
∵

BC=DC ∠BCF=∠DCF CF=CF

，
∴△BCF≌△DCF（SAS），
∴∠CDF=∠CBF，BF=DF，
在△BGF和△DEF中，
∵

∠CDF=∠CBF BF=DF ∠BFG=∠DFE(对顶角相等)

，
∴△BGF≌△DEF（ASA），
∴BG=DE，
∴AD=ED；

（2）设DF=x，则BF=DF=x，
所以FG=DG-DF=AB-DF=18-x，BG=AD=6，
在Rt△BFG中，由勾股定理得，BG²+FG²=BF²，
即6²+（18-x）²=x²，
整理得，36x=360，
解得x=10，
所以四边形ABFD的面积

1

2

×（10+18）×6=84．

点评：本题考查了直角梯形，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，以及梯形的面积求解，难点在于要进行二次三角形全等的证明．