Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，半圆的圆心点A在x轴上，直径OB=8，点C是半圆上一点，∠COA=60°，二次函数y=a（x-h）²+k的图象经过点A、B、C．动点P和点Q同时从点O出发，点P以每秒1个单位的速度从O点运动到点C，点Q以每秒两个单位的速度在OB上运动，当点P运动到点C时，点Q随之停止运动．点D是点C关于二次函数图象对称轴的对称点，顺次连接点D、P、Q，设点P的运动时间为t秒，△DPQ的面积为y．

（1）求二次函数y=a（x-h）²+k的表达式；
（2）当∠DQP=120°时，直接写出点P的坐标；
（3）在点P和点Q运动的过程中，△DPQ的面积存在最大值吗？如果存在，请求出此时的t值和△DPQ面积的最大值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）连接AC，首先可求出C点的坐标，再求出A的坐标，把A，C分别代入y=a（x-6）²+k，求出k和a的值即可；
（2）过P作PH⊥OA于H，求出OH和PH的长，即可得到P的坐标；
（3）△DPQ的面积存在最大值，连接BC、DB，延长DB、PQ交于点E，根据已知条件可求出D的坐标，再求出CD=OB=8，从而证明四边形OCDB为平行四边形，所以OC∥DB，所以∠DEP=∠OPQ=90°，因为在Rt△BEQ中，∠BQE=∠OQP=30°，BQ=8-2t，所以BE=4-t，则DE=8-t，进而得到S_△DPQ=

1

2

PQ•DE=

1

2

3

t•(8-t)，
利用二次函数的性质即可求出最大值．

解答：解：（1）连接AC，
∵A为半圆的圆心，OB=8，
∴AC=AO=4，
∵∠COA=60°，
∴△AOC为等边三角形，
∴C(2，2

3

)，
易知A（4，0），B（8，0）
∴二次函数图象的对称轴为x=6，
将点A（4，0），C(2，2

3

)分别代入y=a（x-6）²+k，
解得：a=

3

6

，
∴y=

3

6

(x-6)2-

2 3

3

．

（2）过P作PH⊥OA于H，
∵∠CAO=60°，
∴∠CAB=120°
∵∠DQP=120°，
∴∠CAB=∠PQA，
∴Q和A重合，
∴P(1，

3

)．

（3）△DPQ的面积存在最大值，理由如下：
连接BC、DB，延长DB、PQ交于点E，再连接CD，
∵OP=t，OQ=2t，
∵OC=4，OB=8，
∴

OP

OC

=

OQ

OB

，
∵∠POQ=∠COB，
∴△OPQ∽△OCB，
∴∠OPQ=∠OCB，
∵OB为半圆的直径，
∴∠OCB=90°，
∴∠OPQ=90°，
在Rt△OPQ中，PQ=

3

t，
∵点D是点C关于二次函数图象对称轴的对称点，
∴CD∥OB，
∵C(2，2

3

)且对称轴为x=6，
∴D(10，2

3

)，
∴CD=OB=8，
∴四边形OCDB为平行四边形，
∴OC∥DB，
∴∠DEP=∠OPQ=90°，
在Rt△BEQ中，∠BQE=∠OQP=30°，BQ=8-2t，
∴BE=4-t，
∴DE=8-t，
∴S_△DPQ=

1

2

PQ•DE=

1

2

3

t•(8-t)，
即y=-

3

2

(t-4)2+8

3

．
∴当t=4时，△DPQ的面积的最大值为 8

3

．

点评：本题考查了等边三角形的判定和性质，利用待定系数法求二次函数的解析式，三角形的面积，二次函数的最值，相似三角形的性质和判定的应用，以及平行四边形的判定和性质，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目比较好，但是有一定的难度．