Question

⊙O过△ABC顶点A，C，且与AB，BC交于K，N（K与N不同）．△ABC外接圆和△BKN外接圆相交于B和M．求证：∠BMO=90°．（第26届IMO第五题）

Answer 1

分析：连接OC，OK，MC，MK，延长BM到G，根据圆内接四边形的外角等于内对角得∠GMC=∠BAC=∠BNK，根据圆周角定理得∠BNK=∠BMK，再根据条件证明∠COK+∠CMK=180°，从而得C，O，K，M四点共圆，由OC=OK可证∠OMC=∠OMK，即∠OMC+∠GMC=∠OMK+∠BMK，可证∠BMO=90°．

解答：证明：连接OC，OK，MC，MK，延长BM到G，
∵△ABC外接圆和△BKN外接圆相交于B和M，
∴∠GMC=∠BAC=∠BNK=∠BMK，
而∠COK=2•∠BAC=∠GMC+∠BMK=180°-∠CMK，
∴∠COK+∠CMK=180°，
∴C，O，K，M四点共圆，
在这个圆中，由OC=OK得

OC

=

OK

，
∴∠OMC=∠OMK，但∠GMC=∠BMK，
∴∠BMO=90°．

点评：本题考查了四点共圆的判定与性质．只要把握已知条件和图形特点，借助“四点共圆”，问题是不难解决的．