Question

【题目】如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，直线MN是过点A的直线CD⊥MN于点D，连接BD．

（1）观察猜想张老师在课堂上提出问题：线段DC，AD，BD之间有什么数量关系．经过观察思考，小明出一种思路：如图1，过点B作BE⊥BD，交MN于点E，进而得出：DC+AD=　　BD．

（2）探究证明

将直线MN绕点A顺时针旋转到图2的位置写出此时线段DC，AD，BD之间的数量关系，并证明

（3）拓展延伸

在直线MN绕点A旋转的过程中，当△ABD面积取得最大值时，若CD长为1，请直接写BD的长．

Answer 1

【答案】（1）；（2）AD﹣DC=BD；（3）BD=AD=+1．

【解析】

（1）根据全等三角形的性质求出DC，AD，BD之间的数量关系

（2）过点B作BE⊥BD，交MN于点E．AD交BC于O，

证明，得到，，

根据为等腰直角三角形，得到，

再根据，即可解出答案.

（3）根据A、B、C、D四点共圆，得到当点D在线段AB的垂直平分线上且在AB的右侧时，△ABD的面积最大．

在DA上截取一点H，使得CD=DH=1，则易证，

由即可得出答案.

解：（1）如图1中，

由题意：，

∴AE=CD，BE=BD，

∴CD+AD=AD+AE=DE，

∵是等腰直角三角形，

∴DE=BD，

∴DC+AD=BD，

故答案为．

（2）．

证明：如图，过点B作BE⊥BD，交MN于点E．AD交BC于O．

∵，

∴，

∴．

∵，，，

∴，

∴．又∵，

∴，

∴，，

∴为等腰直角三角形，．

∵，

∴．

（3）如图3中，易知A、B、C、D四点共圆，当点D在线段AB的垂直平分线上且在AB的右侧时，△ABD的面积最大．

此时DG⊥AB，DB=DA，在DA上截取一点H，使得CD=DH=1，则易证，

∴．