Question

【题目】等边△ABC中，AO是BC边上的高，D为AO上一点，以CD为一边，在CD下方作等边△CDE，连接BE．

（1）求证：△ACD≌△BCE
（2）过点C作CH⊥BE，交BE的延长线于H，若BC=8，求CH的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=600 ， ∠DCE=600;
∴∠ACD+∠BCD=∠ACB=600 ，
∠BCE+∠BCD=∠DCE=600 ，
∴∠ACD=∠BCE
在△ACD和△BCE中，
∴△ACD≌△BCE（SAS） 。
（2）解：∵△ABC是等边三角形，AO是BC边上的高
∴∠BAC=600 ， 且AO平分∠BAC；
∴∠CAD= = =300;
∵△ACD≌△BCE
∴∠CAD=∠CBE
∴∠CBE=300
又∵CH⊥BE，BC=8
∴在Rt△BCH中，CH= = =4
即CH=4
【解析】（1）根据等边三角形的性质得出CA=CB，CD=CE，∠ACB=600 ， ∠DCE=600;根据角的和差得出∠ACD=∠BCE ，进而利用SAS判断出△ACD≌△BCE ；
（2）根据等边三角形的性质及三线合一得出∠BAC=600 ， 且AO平分∠BAC；即∠CAD= ∠ B A C = × 60 ° =300; 根据全等三角形对应角相等得出∠CAD=∠CBE=30° ，然后根据含30°角的直角三角形的边之间的关系得出CH= B C = × 8 =4 。
【考点精析】解答此题的关键在于理解等腰三角形的性质的相关知识，掌握等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角），以及对含30度角的直角三角形的理解，了解在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．